山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第七章 线性变换

由于=+0，所以它的坐标xo1,xo2…,xo不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即[2 - a-ai2-ain2。-a22-a21-a2n=0.因此E-A=..No-am-an-an2(1)先由E-A=0求矩阵A的特征值，(2)再由(AE-A)X=0，）求矩阵A属于特征值元的特征向量0)(313例1 A=-1-40答案：=1，对应的特征向量.4-8-2)2002=-2，对应的特征向量51(1 22)例2A=21(2 21答案：2=-1，对应的特征向量12=5，对应的特征向量51三、特征多项式1.设A是数域P上一个n级矩阵，1是一个数字.矩阵E-A的行列式[a-an-a2-an-a22a21-a2n(4)ME-2-amn-am-an216

16 由于   0 ,所以它的坐标 n x x x 01 02 0 , ,  , 不全为零，即齐次方程组有非零 解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即 0 1 2 0 2 1 0 2 2 2 0 1 1 1 2 1 0             n n n n n n a a a a a a a a a E A            . 因此 (1) 先由 E A   0 求矩阵 A 的特征值, (2) 再由 ( ) 0 E A X   , 求矩阵 A 属于特征值  的特征向量 例 1 3 1 0 4 1 0 4 8 2 A                答案： 1  1, 对应的特征向量 1 3 6 20             2   2, 对应的特征向量 2 0 0 1             例 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A            答案： 1  1, 对应的特征向量 1 2 1 0 0 , 1 1 1                           2   5, 对应的特征向量 3 1 1 1             三、特征多项式 1．设 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵, 是一个数字.矩阵 E  A 的行列式 . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a E A                    (4)

叫做矩阵A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在[-a-a12-ain1-a22-a2n-a21[E - A| =a-amn-an-an2的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积(a-a)(-a22)...(-ann)展开式中的其余项，至多包含n-2个主对角线上的元素，它对入的次数最多是n-2.因此特征多项式中含a的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是"-(an+a22+…+amm)a"-.在特征多项式中令=0，即得常数项-A=(-1)"Al.因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有(5)[E - A|= " -(a +a22 +.+am) +.+(-1)"|A.在复数域上，n阶方阵A的特征值是…,，由根与系数的关系可知，++,=ai+a2+.+am（称为A的迹），[A-2相似矩阵定理6相似矩阵有相同的特征多项式既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式17

17 叫做矩阵 A 的特征多项式, 这是数域 P 上的一个 n 次多项式. 矩阵的特征多项式是重要的.下面 先来看一下它的系数.在 . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a E A                    的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积 ( )( ) ( )   a11   a22    ann 展开式中的其余项，至多包含 n  2 个主对角线上的元素，它对  的次 数最多是 n  2.因此特征多项式中含  的 n 次与 n 1 次的项只能在主对 角线上元素的连乘积中出现，它们是 1 11 22 ( )      n nn n  a a  a  . 在特征多项式中令   0 ，即得常数项 A A n   (1) . 因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有 E A a a a A n n n n n ( ) ( 1) 1    1 1  2 2            . (5) 在复数域上, n 阶方阵 A 的特征值是 1 , ,  n , 由根与系数的关 系可知， 1 11 22 n nn         a a a （称为 A 的迹）, A    1 n . 2 相似矩阵 定理 6 相似矩阵有相同的特征多项式. 既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系 数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到 相似矩阵有相同的行列式

例3.如果矩阵[73相似，则x=4X注意：定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.10例如4=B=(o它们的特征多项式都是（a-1)?，但A和B不相似，因为和A相似的矩阵只能是A本身哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理设A是数域P上一个nxn矩阵，f(a)=aE-A|是A的特征多项式，则f(A)= A" -(a +a22 +...+am)A"-I +...+(-1)"|AE = 0四、特征值、特征向量的性质设A的特征值是，对应的特征向量是，(1）A2的特征值是2，对应的特征向量是A"的特征值是"，对应的特征向量是5kA的特征值是ka，对应的特征向量是5f(A)的特征值是F(a)，对应的特征向量是(2）如果A可逆，则A-的特征值是！,对应的特征向量是5.2，对应的特征向量是5.(3）如果A可逆，则A’的特征值是2(4）如果B和A相似，存在可逆阵P，使B=P-AP，那么矩阵B的特征值是元，对应的特征向量是P-518

18 例 3．如果矩阵 7 12 y x       与 1 3 2 4       相似，则 x y   _, _. 注意: 定理 6 的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似 的. 例如 1 0 1 1 , 0 1 0 1 A B               它们的特征多项式都是 2 ( 1)   ，但 A 和 B 不相似，因为和 A 相似的 矩阵只能是 A 本身. 哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设 A 是数域 P 上一个 nn 矩阵， f ()  E  A 是 A 的特征多项式，则 ( ) ( ) ( 1) 0 1   1 1  2 2        f A A a a a A AE n n n n n   四、特征值、特征向量的性质 设 A 的特征值是  , 对应的特征向量是  , (1) 2 A 的特征值是 2  , 对应的特征向量是  m A 的特征值是 m  , 对应的特征向量是  kA 的特征值是 k , 对应的特征向量是  f A( ) 的特征值是 f ( )  , 对应的特征向量是  (2) 如果 A 可逆, 则 1 A  的特征值是 1  , 对应的特征向量是  . (3) 如果 A 可逆, 则 * A 的特征值是 A  ,对应的特征向量是  . (4) 如果 B 和 A 相似, 存在可逆阵 P ,使 1 B P AP   , 那么 矩阵 B 的特征值是  , 对应的特征向量是 1 P  