把它扩充为V的一组基，2,.指定线性变换如下[A8, =8,i=-1,2,--,mAs,=0,i=m+l,..,n如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影.不难证明2=0(11投影在基6，62,6,下的矩阵是0*..03定理2设8,82,8,是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个nxn矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积：4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵4定理3设线性变换在基,62,8，下的矩阵是A，向量在基,62,",下的坐标是（x,X2x），则在基6,626,下的坐标(yi,y2,"y）可以按公式yiXy计算。.yn5L(V)与pmx同构(1）在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维线性空间V11
11 把它扩充为 V 的一组基 n , , , 1 2 .指定线性变换 A 如下 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i 如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明 A 2 =A 投影 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是 0 0 1 1 1 3 定理 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，在这 组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个 nn 矩阵，这个对应具 有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 4 定理 3 设线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是 A ，向量 在 基 n , , , 1 2 下的坐标是 ( , , , ) 1 2 n x x x ,则 A 在基 n , , , 1 2 下的坐标 ( , , , ) 1 2 n y y y 可以按公式 n n x x x A y y y 2 1 2 1 计算. 5 L(V) 与 n n P 同构. (1) 在取定一组基之后，就建立了由数域 P 上的 n 维线性空间 V
的线性变换到数域P上的nxn矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射(2）定理2说明这个双射保运算从而数域P上n维线性空间V的全体线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空间px同构(3）线性空间L(V)的维数、一组基三、同一个线性变换在不同基下的矩阵1同一个线性变换在不同基下的矩阵定理4：设线性空间V中线性变换在两组基(6)8162.",8n(7),2,下的矩阵分别为A和B从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是B= X-"AX.定理4告诉我们，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.2定理5定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.3如何计算12
12 的线性变换到数域 P 上的 nn 矩阵的一个映射.前面结论 1 说明这个 映射是单射，结论 2 说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间 建立了一个双射. (2) 定理 2 说明这个双射保运算. 从而数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换组成的集合 L(V) 对于线 性变换的加法与数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域 P 上 n 级方 阵构成的线性空间 n n P 同构. (3) 线性空间 L(V) 的维数、一组基 三、同一个线性变换在不同基下的矩阵 1 同一个线性变换在不同基下的矩阵 定理 4：设线性空间 V 中线性变换 A 在两组基 n , , , 1 2 , (6) n , , , 1 2 (7) 下的矩阵分别为 A 和 B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是 X ，于是 B X AX 1 . 定理 4 告诉我们，同一个线性变换 A 在不同基下的矩阵之间的 关系. 2 定理 5 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来， 如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所 对应的矩阵. 3 如何计算
方法1：按照定义推导课后习题7(5）（6)（7）例1设V是数域P上一个二维线性空间，S,6,是一组基，线性(2 1)变换在8,8下的矩阵是(-1 0)计算在的另一组基n,nz下的矩阵，这里1-(m1, 2)=(61,62) /-1方法2“凑”例2设V是数域P上的线性空间，ei,e,e，是一组基，已知线(102)性变换(e,e2,e)=(e,e2e)230.求在基e+e2,e2,e,+e,下(313)对应的矩阵练习：10，11，12，13，15，16，17，18四、矩阵相似1矩阵相似的定义定义3设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可以找到数域P上的n级可逆方阵X，使得B=X-AX，就说A相似于B，记作A～B2相似是一种等价关系相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：(1).反身性：A~A(2).对称性：如果A~B，那么B～A.(3).传递性：如果A~B，B~C,那么A~C13
13 方法 1： 按照定义推导 课后习题 7(5)(6)(7) 例 1 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间， 1 2 , 是一组基，线性 变换 A 在 1 2 , 下的矩阵是 1 0 2 1 计算 A 在 V 的另一组基 1 2 , 下的矩阵，这里 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 方法 2 “凑” 例 2 设 V 是数域 P 上的线性空间， 1 2 3 e e e , , 是一组基， 已知线 性变换 1 2 3 1 2 3 102 ( , , ) ( , , ) 2 3 0 3 1 3 e e e e e e .求 在基 1 2 2 2 3 e e e e e , , 下 对应的矩阵 练习： 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18 四、矩阵相似 1 矩阵相似的定义 定义 3 设 A , B 为数域 P 上两个 n 级方阵，如果可以找到数域 P 上 的 n 级可逆方阵 X ，使得 B X AX 1 ，就说 A 相似于 B ，记作 A ~ B . 2 相似是一种等价关系 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： (1). 反身性： A ~ A (2). 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A. (3). 传递性：如果 A ~ B , B ~ C ,那么 A ~ C
3矩阵的相似对于运算有下面的性质如果B,=X-A,X，B,=X-A,X，那么B, +B, = X-(A, + A,)X ,B,B, = X-'(A,A,)X由此可知，如果B=X-AX，且f(x)是数域P上一多项式，那么f(B)= X-'f(A)X4矩阵相似、合同、等价的关系14
14 3 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果 B X A1X 1 1 , B X A2X 1 2 ，那么 B B X (A1 A2 )X 1 1 2 , B B X (A1A2 )X 1 1 2 由此可知，如果 B X AX 1 ，且 f (x) 是数域 P 上一多项式，那么 f (B) X f (A)X 1 4 矩阵相似、合同、等价的关系
S4矩阵的特征值和特征向量一、定义和性质1.定义A=，5+0，则称元是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量2.性质（1）ks（k+0）是矩阵A属于特征值α的特征向量(2）A=，A,=2,如果+0，则+,也是矩阵A属于特征值的特征向量这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.二、求法(Xo1XoX02或-(E-A)XonXoXo这说明特征向量=的坐标(x01,Xo2,xon）满足齐次方程组ax +ai2x2 +...+anx,=Nox,a+ax++an,=oxanX+an2X2+..+axn=1oxn(-a)x) -a2x2-... -anx,=0,a21x, +( -a22)x2 -...-a2mx, = 0)即-amx-an2x2-...+(。-a.)x,=0,15
15 §4 矩阵的特征值和特征向量 一、定义和性质 1. 定义 A , 0，则称 是矩阵 A 的一个特征值, 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量 2. 性质 (1) k ( k 0 ) 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 (2) A 1 1 , A 2 2 ,如果 1 2 0 ，则 1 2 也是 矩阵 A 属于特征值 的特征向量 这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却 是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征 值. 二、求法 n n x x x x x x A 0 02 01 0 0 02 01 或 ( ) 0 0 02 01 0 n x x x E A 这说明特征向量 的坐标 ( , , , ) 01 02 0n x x x 满足齐次方程组 , , , 1 1 2 2 0 2 1 1 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 1 n n n n n n n n n n a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x x 即 ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , 1 1 2 2 0 2 1 1 0 2 2 2 2 0 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x