ut ed 第六节高斯公式、通量与散度 高斯公式 二、简单的应用 、物理意义通量与散度
第六节 高斯公式、通量与散度 一、高 斯 公 式 二、简单的应用 三、物理意义----通量与散度
高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有 阶连续偏导数,则有公式 ∫j( aPa0.OR、 +a+o)dv=i pdyda+@dzdx+rdxdy ax a z 或 ap a0 OR 83 ax ay az. (P cos a+ocos B+ rcos y)ds 上一页下一页返回
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, c0sa,cosB,cosy是Σ上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xO 上的投影区域为D, Q Σ由∑,∑,和∑三部分组成, Σ1:x=31(x,y) 2(x,y) 上一页下一页返回
这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在 面xoy 上的投影区域为Dxy . x y z o 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1 z = z x y ( , ) 2 : 2 z = z x y 3 1 2 3 Dxy
根据三重积分的计算法 OR 2(x,)aR 小y dz addy az Dmi(x, y )a (R,y,2(x, y)I-RE,y,,(x, y)I)dxdy 根据曲面积分的计算法 (Σ取下侧,Σ2取上侧,Σ3取外侧) R(x, y, z)dxdy RG, y, 1 (x, y)lardy 上一页下一页返回
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y z x y = { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 = − Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy (1取下侧, 2取上侧, 3 取外侧)
R(x,y, z)dxdy=RIx,y,2(x, y)]dxdys ∫(x,y)dd=0 于是「R(x,y,z)y =』 (Rx, y, 22(x, y)I-R,y, (x, y)13dxdy OR R(, y z)dxd小y. 上一页下一页返回
( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 = Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 = R x y z dxdy ( , , ) . = dv R x y z dxdy z R