数学上的E-N定义 定义:设{x}是一个数列,A是一个有限数, 若∨E>0,彐N>0,使得当n>N时,总有 <E, 则称数列x}收敛于A,或x以为极限 {x以为极限的几何解释 当n>N时,所有的点x都落在开区间(-E,A+E内, 而只有有限多个(至多为N个)落在这区间之外
数学上的 −N 定义: 定义: 设 xn 是一个数列, A 是一个有限数, 若 0, N 0, 使得当 n N 时, 总有 , n x A− 则称数列 xn 收敛于 A, . n 或 x A 以 为极限 6 "x A n 以 为极限"的几何解释: , ( , ) , ( ) . n n N x A A N 当 − + 时 所有的点 都落在开区间 内 而只有有限多个 至多为 个 落在这区间之外
出描述性定义,镕易得劉下画数刎的极限 n→)0 (2)lim sin-=0 im cos n→0 n→ n ()lime=1 n→0 4)im(-1)不存在 n→00
= → n 1 lim cos n 1 ( ) = n→ n 1 1 lim ( ) 1 2 lim sin n→ n = ( ) 1 3 lim n n e → = (4 lim 1 ) ( ) n n→ − 0 0 1 不存在 7
数列极限的运算与性质 定理若imxn=A,imyn=B,则 n→>00 (1)lim(xn土yn)= lim x± lim y=A±B (2) lim(x ym)=lim x, lim y,=A. B; n→)0 n→00 n→00 特别imn(C·xn)= C lim x=C·A(C为常数) n→)0 limx (3)若 lim y=B≠0,则lm n→)00 n→00 Im B (lim imxn=√A,(k为偶数时,要求imxn=A≥0) n→)0 n→00 n→0
8 数列极限的运算与性质 lim , lim n n n n x A y B → → 定理 若 = = ，则 1 lim ) lim lim ; n n n n n n n x y x y A B → → → （） （ = = 2 lim ) lim lim ; n n n n n n n x y x y A B → → → （ ） （ = = lim 3 lim , lim lim n n n n n n n n n x x A y B y y B → → → → （ ）若 = = ０则 ＝ ； 4 lim lim , ( lim . k k k n n n n n n x x A k x A → → → （ ） = = = 为偶数时,要求 ０) lim ) lim ( n n n n C x C x C A C → → 特别 （ = = 为常数）
例1:求下列极限 3n-2 Im (2) lir n> n n 2n2+n 3n3+n B3)lim (4) lim n→>3n2+2 n→2n+-n 2 2 解1)im(2+-)=1m2+lm==0+2lm==0+0=0 n→>00 n→00 3n-2 (2)lim-=limB3-=lim 3-lil n→>00 n→ n→00 n→00 3-2lm-=3-0=3 n 2o n
2 2 1 2 1 2 2 (1) lim( ) lim lim 0 2lim 0 0 0 n n n n → → → → n n n n n 解： + = + = + = + = 3 2 2 2 (2) lim lim(3 ) lim 3 lim 1 3 2lim 3 0 3 n n n n n n n n n n → → → → → − = − = − = − = − = 9 例1：求下列极限 2 1 2 (1) lim( ) n→ n n + 3 2 (2) lim n n → n − 2 2 2 (3) lim n 3 2 n n → n + + 3 4 2 3 (4) lim n 2 n n → n n + −
例1:求下列极限 (1)m(-2+-)(2)im 3n-2 n-o n 2n2+n 3n3+ m 3n2+2 2n4-n 解:n2+n 2+ lim (2 n→ n→0 3n2+2 n→ 2 3+ lim( 3+ lim 2+ li n→00 n2n_2+02 lim 3+1 23+03
例1：求下列极限 ) 1 2 (1) lim ( 2 n n n + → 3 2 2 (3) lim 2 2 n + + → n n n n 3n 2 (2) lim n − → 4 2 3 n 2 3 (4) lim n n n n − + → 2 2 2 2 2 1 1 2 lim(2 ) 2 : (3) lim lim 3 2 2 2 3 lim(3 ) 1 lim 2 lim 2 0 2 . 2 3 0 3 lim 3 lim n n n n n n n n n n n n n n n n n → → → → → → → → + + + = = + + + + + = = = + + 解 10