∑ r=12…,nU的第行 k=1 ∑ur=1,2,…,mn-1 k=1 L的第r列-( i=r+1,…, 称上述(1)~(4)式所表示的分解过程为 Doolittle分解 A的 Doolittle分解A=LU中L为单位下三角阵U 思考 为上三角阵,如果将A=LU中的L表示为下三 盛 角阵,U表示为单位上三角阵,则称之为 Crout分 解,请找出类似于(1)~(4)式的表达式
å - = = - 1 1 r k rj rj rk kj u a l u r = 1,2,L,n j = r,L,n U的第r行 rr r k ir ik kr ir u a l u l å - = - = 1 1 r = 1,2,L, n - 1 i = r + 1,L, n L的第r列 ------(3) ------(4) 称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解 , (1) ~ (4) . , , 解 请找出类似于 式的表达式 角阵 表示为单位上三角阵 则称之为 分 为上三角阵，如果将 中的 表示为下三 的 分解 中 为单位下三角阵 U Crout A LU L A Doolittle A LU L U = = 思考
对于线性方程组 Ax=b 系数矩阵非奇异经过Doot分解后A=LU 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 Ly=b Ux=y y为中间未知量向量 L=l21l21 -1,n-1 u 1 2
对于线性方程组 Ax = b 系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后 A = LU 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 Ly = b Ux = y y为中间未知量向量 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = 1 1 1 1 1 2 3 31 32 21 L M M M O n n n l l l l l l L ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = - - - nn n n n n n n u u u u u u u u u u U 1, 1 1, 22 23 2, 11 12 13 1, O M L L
由第一节三角形方程组的知识不难得到Ly=b的解: L. 1 21y L b-∑ r=23,…,n :1 1 因此再由Ux=y的解便得到Ax=b的解 u.X r+1 r=n-1,n-2…,2,1
由第一节三角形方程组的知识,不难得到Ly = b的解: 1 1 y = b å - = = - 1 1 r j r r rj j y b l y r = 2,3,L, n 2 2 21 1 y = b - l y 因此再由Ux = y的解便得到Ax = b的解 nn n n u y x = rr n j r r rj j r u y u x x å= + - = 1 r = n - 1,n - 2,L,2,1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = 1 1 1 1 1 2 3 31 32 21 L M M M O n n n l l l l l l L ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - - nn n n n n n n u u u u u u u u u u 1, 1 1, 22 23 2, 11 12 13 1, O M L L