步骤如下： z=f(x,y) 1.分割 D任意分成n个小闭区域△o1, △02，"，△0m,其中△o1 表示 第i个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为△V: (5,n) 2.取近似 在每个△o:上任取一点(5，：)，△V≈f(5i,ni)△o 3.求和 V≈∑f(5,7i)△o1:1=max{Ao1,△o1,,△om} i-1 4.取极限V=lim∑f(5,ni)△o. 圈 2→0i=1 #
步骤如下： x z y oD z = f (x, y) 1. 分割 D 任意分成 n 个小闭区域 1， , 2 …， , n 其中 i 表示 第 i 个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为 . Vi 2. 取近似 在每个 i 上任取一点 ( , ) i i ， ( , ) i i i V f i. 3. 求和 ( , ) . 1 i i ni i V f = 4. 取极限 lim ( , ) . 1 0 i i ni i V f = → = max{ , , , } = 1 1 n • i( , ) i i #
(2)求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D,在点 (x,y)处的面密度为p(x,y),假定p(x,y)在D上连 续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 (5i,7i) 近似等于薄片总质量 M=limp)Aor 形九0白1 0 X 超 #
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点 ( x, y)处的面密度为(x, y)，假定(x, y)在D上连 续，平面薄片的质量为多少？ （２）求平面薄片的质量 • 将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = → = x y o i ( , ) i i #
2.二重积分的定义 定义4-8（仁重积分） 设f化，y)是定义在有界闭区域D上的有界函数 (1)将D分割成个小区域：△o1,△o2,…,△on, 并以△o和d表示第i个小区域的面积和直径； 入=max{d,d2,…dn},称为分割的细度. 2) 在每个小区域△o,内任取一点(5，n,)i=1,2,,n 湖 ③)作和式∑f5,n)△a i=1
设f (x, y) 是定义在有界闭区域D上的有界函数. max{ , , }, 1 2 n = d d d 称为分割的细度. (3) 作和式 定义4-8 (二重积分) (1) 将 D分割成 n个小区域: 1 2 , , , , n 并以 表示第 i 个小区域的面积和直径; i i 和 d 1 ( , ) ; n i i i i f = (2) 在每个小区域 i 内任取一点 ( , ) i i i = 1, 2, ···, n 2. 二重积分的定义
3)取极限1im∑f5,n,)△o λ→0i=1 若上述极限存在，则称此极限值为函数f化，y)在 闭区域D上的二重积分，记为 ∬fx,do=lim∑f5,n)△o, λ→0i=1 其中f化，y)称为被积函数，f(x,)do称为被积 表达式，七，y称为积分变量，do称为面积微元
若上述极限存在,则称此极限值为函数 f (x, y)在 闭区域 D上的二重积分,记为 其中 f (x, y)称为被积函数, (3) 取极限 0 1 ( , ) . lim n i i i i f → = f x y d ( , ) 0 1 ( , ) ( , ) , lim n i i i D i f x y d f → = = 称为被积 表达式, x, y 称为积分变量, d 称为面积微元
D称为积分区域， ∑f(5,n,)△o,称为积分和， i=l 并称f(化，)在区域D上可积 f(x,y)do =lim>f(n)o 2→0 i=1 积分区域 被积函数 积分变量 面积元素 积分和
积 分 区 域 积 分 和 被 积 函 数 积 分 变 量 面 积 元 素 D f (x, y)d i i n i i f = = → lim ( , ) 1 0 并称 f (x, y) 在区域 D上可积. D称为积分区域, 1 ( , ) n i i i i f = 称为积分和