心拐点连续曲线y=(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点·讨论如何确定曲线y=(x)的拐点?如果(xo,(xo)是拐点且yy=f(x)f"(x)存在，问f"(xo)=?拐点凸的凹的如何找可能的拐点？0xoX
v拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称 为该曲线的拐点 拐点 •讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 , f(x0))是拐点且 f (x) 存在, 问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
定理2（拐点的充分条件）设f在点 x.的某邻域内有二阶导数，若f"在x,两侧异号,则(xo,f(x))是f的一个拐点。·提示如果在x的左右两侧f"(x)异号，则(xo,f(x))是拐点.在拐点(xo,J(xo)处f"(xo)=0或f"(xo)不存在只有f"(x)等于零或不存在，(xo,(xo)才可能是拐点
•提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0 , f(x0))是拐 点 在拐点(x0 , f(x0))处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在, (x0 , f(x0))才可能是 拐点 . , ( , ( )) , 0 0 0 0 个拐点 若 在 两侧异号 则 是 的一 设 在点 的某邻域内有二阶导数 f x x f x f f x 定理2（拐点的充分条件）
求拐点的一般步骤：（1）求函数的定义域：（2）求二阶导数：（3）求定义域内使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；(4)检验各点两侧二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标：（5）求出拐点的纵坐标
求拐点的一般步骤： （2）求二阶导数； （5）求出拐点的纵坐标． （1）求函数的定义域； （3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标；
例2.求曲线 =5x3－3x2＋7×－1凹、凸区间及拐点.解：函数的定义域为（-80,+o)J'=15x2 -6x+7, y"= 30x-6没有二阶导数不存在的点令"=0,得手x=-5列表:x{18,(μ,+8)-5y"0+8凸拐点凹y258是拐点.两侧在x==J"符号发生改变，则5°255
凹、凸区间 (,) 2 y ' 15x 6x 7, y '' 30x 6 解：函数的定义域为 y '' 0, 1 , 5 令 得 x 是拐点． 1 5 x 1 8 ( , ) 5 25 在 两侧 例2.求曲线 3 2 y 5x 3x 7x 1 及拐点． 没有二阶导数不存在的点 列表： x 1 ( , ) 5 1 5 1 ( , ) 5 y '' y 8 25 - 0 + 凸 拐点 凹 y ''符号发生改变,则
例3求曲线V=x的拐点21解33/x29x 3/x2二阶导数无零点：当x=0时，二阶导数不存在因为当x<0时,y">0；当x>0时，J"<0所以点(0.0)曲线的拐点·讨论曲线y=x4是否有拐点？·提示y'=4x 3, y''=12x 2.当x±0时，y">0，在区间(-0,+8)内曲线是凹的因此曲线无拐点
3 3 2 1 x y , 3 9 2 2 x x y 例 6 求曲线 3 例3 y x 的拐点 解 二阶导数无零点 当x0时, 二阶导数不存在 因为当x0时, y0 当x0时, y0, 所以点(0, 0)曲线的拐点 3 3 2 1 x y , 3 9 2 2 x x y •讨论 曲线yx 4是否有拐点？ •提示 y 4x 3 , y 12x 2 当x0时, y>0, 在区间(, )内曲线是凹的, 因此曲线无拐点