(2)基解矩阵的一种求法 对n阶矩阵A设A=T-1T 其中T为非奇异矩阵,J为orlm矩阵 贝 其中|J e e Jkt 注1:由e4T=Te"知,Te"也是基解矩阵 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 (2) 基解矩阵的一种求法 对n阶矩阵A设 1 A T JT − = 其中 为非奇异矩阵 为 矩阵 T J Jordan , . 则 1 . At Jt e T e T − = 其中 1 2 , k J J J J = 1 2 , k J t J t Jt J t e e e e = 注1: 1 1 1 . At Jt Jt e T T e T e − − − 由 知, 也是基解矩阵 =
二基解矩阵的计算公式邻 1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系 类似第四章422,寻求 x=Ax,(533) 形如 0(1)=e"c,C≠0,(543) 的解,其中常数和向量c是待定的 将(543代入(533得 h ec= ae 因e≠0,上式变为 (E-A)C=0,(544) 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 二 基解矩阵的计算公式 类似第四章4.2.2,寻求 ' x Ax = , (5.33) 形如 ( ) , 0, (5.43) t t e c c = 的解 其中常数 和向量 是待定的 , . c 将(5.43)代入(5.33)得 , t t e c Ae c = 0, t e 因 上式变为 ( ) 0, (5.44) E A c − = 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系
(AE-AC=0,(5441x=Ax,(53 方程(544非零解的充要条件是:de(E-A)=0 结论微分方程组(533)有非零解0(1)=e"c的充要条件是 λ是矩阵的特征根,c是与λ对应的特征向量 即以()=ec为533)解台(孔E-A)C=0有非零解 例3试求矩阵A 特征值和特征向量. -53 解的特征值就是特征方程 1-3 det(nE-A 元-3|-64+34=0 的根,A1=3+5i,12=3-5 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 方程(5.44)有非零解的充要条件是: det( ) 0, E A − = 结论 (5.33) ( ) t t e c 微分方程组 有非零解 的充要条件是 = 是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量 A c, . ( ) (5.33) t t e 即 = c为 解 ( ) 0 E A c − = 有非零解 例3 3 5 . 5 3 − 试求矩阵A= 特征值和特征向量 解 A的特征值就是特征方程 3 5 det( ) 5 3 E A − − − = − 2 = − + = 6 34 0 的根, 1 2 = + = − 3 5 , 3 5 . i i ' ( ) 0, (5.44) E A c − = x Ax = , (5.33)
对特征根=3+5的特征向量u=(12)满足 (E-a)u 5i-5a1=0 55z 解得L=O ∠/、a≠0 对特征根2=3-5特征向量v=(,n2)满足 5i-5 (E-A)= 0 5-5 解得 B|,,B≠0 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组1 1 2 3 5 ( , )T 对特征根 的特征向量 满足 = + = i u u u ( ) E A u − = 1 2 5 5 0 5 5 i u i u − = 解得 1 u , 0. i = 2 1 2 3 5 ( , )T 对特征根 的特征向量v 满足 = − = i v v ( ) E A u − = 1 2 5 5 0 5 5 i v i v − − = − 解得 , 0. 1 i v =
35 微分方程组x x的解为 53 (3+5) (3-5)t 3+5i)t e(cos 5t+isin 5t) cost+i sin t cos t Zest/ sint sint +i cost sin t cos t 故解为 3r/ cost DI 3t/ sint sin t cos t 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 ' 3 5 5 3 x x = − 微分方程组 的解为 (3 5 ) 1 1 , i t x e i + = (3 5 ) 2 ; 1 i t i x e − = (3 5 ) 1 1 i t x e i + = 3 (cos5 sin 5 ) t = + e t i t 1 i 3 cos sin sin cos t t i t e t i t + = − + 3 cos sin t t e t = − 3 sin cos t t ie t + 故解为: 3 1 cos , sin t t x e t = − 3 2 sin . cos t t x e t =