例4试求矩阵A 特征值和特征向量 解特征方程为 1-2-1 det(hE-A) 22-6元+9=0 12-4 因此λ=3为两重特征根,为求其对应的特征向量 考虑方程组 (E-A)c =0 方程细「21 14 解得C= /a≠0 的解为x=e3 是对应于特征根λ=3特征向量 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 例4 2 1 . 1 4 − 试求矩阵A= 特征值和特征向量 解 特征方程为 2 1 det( ) 1 4 E A − − − = − 2 = − + = 6 9 0 因此 为两重特征根 = 3 , 为求其对应的特征向量 考虑方程组 ( ) E A c − = 1 2 1 1 0 1 1 c c − = − 解得 1 , 0, 1 c = 是对应于特征根 的特征向量 = 3 ' 3 2 1 1 4 1 . 1 t x x x e = − = 方程组 的解为
2基解矩阵的计算方法-系数线性微分方程组的解法 B(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 vn;它们相应的特征值为λ,2,…,(不必 互不相同,那么矩阵 Φ(t)=ev1,ev2…,e"vn],-∞<t<+∞ 是常系数线性微分方程组 x=Ax,(5.33) 的一个基解矩阵. 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理10 1 2 1 2 , , , ; , , , ( ), n n v v v 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 它们相应的特征值为 不必 互不相同 那么矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , , , ], n t t t n t e v e v e v t = − + 是常系数线性微分方程组 ' x Ax = , (5.33) 的一个基解矩阵
证明:由上面讨论知每一个向量函数 1.2.…n 都是(533)的解,因此矩阵 ΦD(1)=e"n,en2…e"vn 是(533)的解矩阵, 由于v122…线性无关 所以 detd(0)=detn,V2…,wn]≠0 故Φ()是(53)的基解矩阵 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 , 1, 2, , j t j e v j n = 都是(5.33)的解,因此矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , , , ] n t t t n t e v e v e v = 是(5.33)的解矩阵, 1 2 , , , , n 由于 线性无关 v v v 所以 1 2 det (0) det[ , , , ] n = v v v 0 故 是 的基解矩阵 ( ) (5.33) . t
例5试求微分方程组x35 的基解矩阵 53 解由例3知λ1=3+5,2=3-5是的特征值, 2=,是对应于1,的特征向量 由定理10矩阵 (3+5i)t (3-5i) ap(t=e (3+5i) 3-5i) 就是一个基解矩阵. 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助
常系数线性方程组 例5 ' 3 5 . 5 3 x x = − 试求微分方程组 的基解矩阵 解 由例3知 1 2 = + = − 3 5 , 3 5 i i A 是 的特征值, 1 2 1 2 1 , , , 1 i v v i = = 是对应于 的特征向量; 由定理10,矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , ] t t t e v e v = (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) i t i t i t i t e ie ie e + − + − = 就是一个基解矩阵