《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.3）常系数线性方程组习题解答

(3)若T是非奇异的则 exp(t" AT)=T(exp a)T 由于 exp(T7)=∑ S(TAT k=0 k! =E+X(747) TAT e+ k=1 k ∑ k=1 k k =7+T②∑ k k =7(E+∑ )T=T(exp a)T k! 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 (3) , 若 是非奇异的 则 T AT A T ) (exp ) . = -1 -1 exp(T T 由于: AT) = -1 exp(T 1 0 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ! k k T A T k  − =  1 T T− = + 1 1 ( ) ! k k A T T k  − =  1 1 ( ) ! k k A T E T k  − = = + = (exp ) . A T -1 T

3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 B(1)定理9矩阵 o(t)=exp At 是(533)的基解矩阵,且Φ(0)=E 证明:当t=0时,由 exp At定义知Φ(0)=E 又因为Φ()=( exp At) A+—t+—t2+…+ (m-1) A(E+4t+0t2+…+2;m+…)= Aexp At=A(t), 故Φ()=eXpA是基解矩阵 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵  = ( ) exp t At 是(5.33)的基解矩阵,且  = (0) . E 证明: 当 时由 定义知 t At = 0 , exp  = (0) ; E 又因为 ' '  = ( ) (exp ) t At 2 3 2 1 1! 2! ( 1)! m A A A m A t t t m − = + + + + + − = A = A 故 是基解矩阵  = ( ) exp t At 2 2 ( ) 2! ! m A A m E At t t m + + + + + exp At = A( ), t

例1如果A是一个对角矩阵 A 试求出x=Ax的基解矩阵 解由(534)得 exp At=e+ 2 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 例1 如果A是一个对角矩阵 1 2 n a a A a     =           ' 试求出 的基解矩阵 x Ax = . 解 由(5.34)得 exp At = E 1 2 1! n a a t a     +           2 1 2 2 2 2 2 ! n a a t a       +        

a1 例2试求出x x的基解矩阵 02 解因为 21 201|01 02|0200 而后面两个矩阵是可交换的 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 + 1 2 ! m m m m n a a t m a       +         + 1 2 n a t a t a t e e e       =         例2 ' 2 1 . 0 2 x x   =     试求出 的基解矩阵 解 因为 2 1 0 2 A   =     2 0 0 1 0 2 0 0     = +         而后面两个矩阵是可交换的

20 0 00 2E 02 00 20 故 exp at=exp Xexp 02 00 01 01 {E+ t+ o e 00 002! 01 e e 0 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 2 0 2 , 0 2 E   =     2 0 1 0 0 , 0 0 0 0     =         故 exp At 2 0 exp( ) 0 2 t   =     0 1 exp( ) 0 0 t        2 2 0 0 t t e e   =     2 2 0 1 0 1 { } 0 0 0 0 2 ! t E t      + + +         2 2 0 0 t t e e   =     1 0 1  t     2 1 . 0 1 t t e   =    