电动力学讲稿●第四章电磁波的传播121由于电容率ε与の有关，nz与の有关=产生色散现象。（光的色散是颜色的散开，光的颜色决定于频率）。4）以上推导是从电场的边值关系出发，由磁场的边值关系也可导出同样的结论。振幅关系菲涅耳（Fresnel）公式二对于平面电磁波，（K，E，H）相互垂直；平面电磁波象光波一样，有两个独立（相互垂直）的偏振方向，这两个方向可以选择为：与入射面垂直和与入射面平行。长"1．E1入射面41EAT*H"28fO如图（a）所示，图中三点无限接近界面。1BreleNE设E、E和E"方向一致，运用边界关系（10）eeotk大HH[E+E'= E"Hcose-H'cose'-H"coso"(a)(b)对于平面电磁波（P.1411.28式）[E1<E=H=(18)BJueVu6利用=，μμo，且对于H、H和H"运用关系式H-E，可以得到：VuEe,coso-,coso"sine-"Esin(@ + 0")a,coso+ye,coso"(19)E"296,cos02cossino"Esin(@ + 0")a,coso+e,coso2.EI入射面如图（b）所示，设H、H和H"方向一致，运用边界关系（10）EcosQ-Ecose'=E"coseH+H=H利用（18）式，可得11
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 11 1 2 21 ε ε n ≈ 由于电容率ε 与ω 有关， 21 n 与ω 有关 ⇒ 产生色散现象。（光的色散是颜色的散开，光的 颜色决定于频率）。 4）以上推导是从电场的边值关系出发，由磁场的边值关系也可导出同样的结论。 二、 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 对于平面电磁波，（k K ，E K ，H K ）相互垂直；平面电磁波象光波一样，有两个独立（相 互垂直）的偏振方向，这两个方向可以选择为：与入射面垂直和与入射面平行。 1． E ⊥ K 入射面 如图（a）所示，图中三点无限接近界面。 设 E K 、E' K 和 E" K 方向一致，运用边界关系（10） ⎩ ⎨ ⎧ − = + = cos 'cos ' "cos " ' '' H θ H θ H θ E E E K K K 对于平面电磁波（P. 141 1.28 式） με 1 = B E K K ⇒ H E μ ε = （18） 利用 ' θ = θ ， μ1 ≈ μ 2 ≈ μ 0 ，且对于 H 、 H'和 H"运用关系式 H E μ ε = ，可以得到： ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = − + = + − = − + − = ⇒ sin " 2cos sin " cos cos " " 2 cos sin " sin " cos cos " ' cos cos " 1 2 1 1 2 1 2 θ θ θ θ ε θ ε θ ε θ θ θ θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ E E E E （19） 2. E // G 入射面 如图（b）所示，设 H G 、 H' G 和 H" G 方向一致，运用边界关系（10） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = − = ' '' ' ' '' '' cos cos cos H H H E θ E θ E θ 利用（18）式，可得
电动力学讲稿·第四章电磁波的传播[E'_ tg(@-0")E-tg(0+0")(20)E"2cossin"[Esin(@+")cos(@-g")（19）、（20）称为Fresnel公式讨论：1）Fresnel公式表明垂直和平行于入射面的电磁波，其反射与折射行为不同；2）对于自然光（两种成份偏振光等量混合），经过反射或折射后变为部分偏振光：3）当θ+6"=90°时，由（20）式，E'=0，表明：反射光中没有平行于入射面的成份，反射光是完全偏振的。这就是光学中的Brewster定律，相应的入射角为布儒斯特角：4）若8,>8,（电磁波由光疏介质向光密介质入射），由折射定律[（15）式}，有>"，E由（19）式可知二为负，即：对于垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相，E这就是反射过程中的半波损失。上述结论是光学课程中已学过的，并已得到实验证实。上面的推导说明，可以从Maxwell方程出发，根据电磁场理论可以解释上述现象。三、全反射sine巨，若6,<6，（即na<1)，当sino增大到等于n时，从折射定理=n1sing"V616”=90°，即电磁波不会“进入”介质2。问题：若再增大，情形又如何？（此时sin>nz,）此时，电磁场的边值关系仍然成立，所以，由此导出的波矢关系（11）式仍然成立 k=k,=ksine(21),k"=00又因为k=VV2= k==k=kn2(22)V2当sinの>nz时，由（21）和（22）式，= k'>k"引入K，它满足12
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 12 ( ) ( ) ⎪ ( )( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − = ⇒ sin " cos " " 2cos sin " " ' " θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ E E tg tg E E （20） （19）、（20）称为 Fresnel 公式 讨论： 1） Fresnel 公式表明垂直和平行于入射面的电磁波，其反射与折射行为不同； 2） 对于自然光（两种成份偏振光等量混合），经过反射或折射后变为部分偏振光； 3） 当 '' 0 θ +θ = 90 时，由（20）式， E'= 0 ，表明：反射光中没有平行于入射面的 成份，反射光是完全偏振的。这就是光学中的 Brewster 定律，相应的入射角为布儒 斯特角； 4） 若 2 1 ε > ε （电磁波由光疏介质向光密介质入射），由折射定律[（15）式]，有 '' θ > θ ， 由（19）式可知 E E' 为负，即：对于垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相， 这就是反射过程中的半波损失。 上述结论是光学课程中已学过的，并已得到实验证实。上面的推导说明，可以从 Maxwell 方程出发，根据电磁场理论可以解释上述现象。 三、 全反射 从折射定理 1 2 21 sin " sin ε ε θ θ = n ≈ ，若 2 1 ε < ε （即 1 n21 < ），当sinθ 增大到等于 21 n 时， '' 0 θ = 90 ，即电磁波不会“进入”介质 2。 问题：若θ 再增大，情形又如何？（此时 21 sinθ > n ） 此时，电磁场的边值关系仍然成立，所以，由此导出的波矢关系（11）式仍然成立 ⇒ sinθ '' k k k x = x = （21） 又因为 1 v k ω= ， 2 '' v k ω= ⇒ 21 2 '' 1 k kn v v k = = （22） 当 21 sinθ > n 时，由（21）和（22）式， ⇒ '' '' k k x > 引入 K ，它满足
电动力学讲稿●第四章电磁波的传播k =1=iK(23)其中K=k/sin?@-n2(24)可见，在介质2中，波矢k"的z分量为虚数。全反射时，介质2中的电磁波形式E"- Ee-K= expi(k'x-ot)(25)可以验证，上述形式的解仍满足亥姆霍兹方程。上述结果表明：当sinθ>nz，时，介质2中仍有电磁波，它沿x轴方向传播，且沿=轴指数衰减。由（24）式，衰减长度?元K-(26)2元/sin-n2即，透射到介质2中的薄层厚度与2同数量级（一般情况下）注意到随θ减小，K-增大，厚度增大。全反射时，介质2中电场和磁场的关系·考虑E"I入射面情况，即E"= E,"由 P. 141 （1.27）式，在介质2中k(, +ike)xE,"e,H"=XE"=Vuzk"k"Vu2利用（21）和（22）式E2k"EsinEH."G(27)kAVu2n21利用（26)K8k62sin?0-n2,EH"E1Vu,k"VsVk"sino-n"HVi(28)621sin"e-n,E,n21sin062-1E"n2uy13
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 13 kz = k −kx ≡ iK 2 '' 2 '' " （23） 其中 2 21 2 K = k sin θ − n （24） 可见，在介质 2 中，波矢 k" G 的 z 分量为虚数。 z 全反射时，介质 2 中的电磁波形式 E E e i(k x t) x K z = −ω '' − '' 0 " exp （25） 可以验证，上述形式的解仍满足亥姆霍兹方程。 上述结果表明：当 21 sinθ > n 时，介质 2 中仍有电磁波，它沿 x 轴方向传播，且沿 z 轴 指数衰减。 z 由（24）式，衰减长度 2 21 2 1 1 2 sin n K − = − π θ λ （26） 即，透射到介质 2 中的薄层厚度与λ1同数量级（一般情况下）注意到随θ 减小， −1 K 增大， 厚度增大。 z 全反射时，介质 2 中电场和磁场的关系 考虑 E"⊥入射面情况，即 " " E = Ey 由 P. 141 （1.27）式，在介质 2 中 y y x x z E e k k e iKe E k k H G K K K K K " " ( " ) " " " " 2 2 2 2 × + = × = μ ε μ ε 利用（21）和（22）式 '' 2 21 2 2 2 sin " " " E n E k k H y x z θ μ ε μ ε = = （27） 利用（26） 1 " sin sin " 1 sin " sin " " " " " 2 21 2 2 2 2 21 2 2 21 2 2 21 2 1 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 E n i n E n i n E v v i n E k k E i k K H i y y x y y = − − = − − = − − = − = − − θ μ ε θ μ ε θ μ ε θ μ ε μ ε （28）