电动力学讲稿●第四章电磁波的传播B=JuonxE(20)（n为波矢方向的单位矢量）由此可知，E和B同相；结合（19）式，可得（k、E、B）相互垂直，且E]1(21)1BJue小结：（P.142）如右图，。电磁波是横波；·E与B相互垂直，且E×B沿波矢k方向；E与B同相，且振幅之比为相速。.五、电磁波的能量和能流平面电磁波的能量密度I(E.D+B.A)-$E?+| B?W=1LE1因为一BJusRW=SE2(22)A平面电磁波的能流密度S-ExH-—ExB--E[EEx(nxE)=EE'nwnVuVuVe所以S=ywn(23)可见电磁波能量的传播方向（即电磁波的传播方向）为k。六、（能量密度和能流密度）瞬时值和平均值的计算w和S涉及场强的二次项，不宜用场强的复数形式进行计算。计算时，只取实部。W和S的瞬时值（与时间的关系）6
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 6 B n E K K K = μω × （ n G 为波矢方向的单位矢量） （20） 由此可知， E K 和 B K 同相；结合（19）式，可得（ k K 、 E K 、 B K ）相互垂直，且 v B E = = με 1 K K （21） 小结：（P. 142）如右图， z 电磁波是横波； z E G 与 B G 相互垂直，且 E B G G × 沿波 矢 k G 方向； z E G 与 B G 同相，且振幅之比为相速。 五、 电磁波的能量和能流 平面电磁波的能量密度 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + ⋅ = +2 1 2 2 1 2 1 w E D B H E B K K K K K K μ ε 因为 με 1 = B E 2 1 2 w E B μ = ε = K （22） 平面电磁波的能流密度 [ ] E ( ) n E E n wn S E H E B E n E K K K K K K K G K K K K K μ με ε μ ε με μ μ 1 1 1 2 = × × = = = × = × = × × 所以 S vwn K G = （23） 可见电磁波能量的传播方向（即电磁波的传播方向）为 k K 。 六、 （能量密度和能流密度）瞬时值和平均值的计算 w 和 S G 涉及场强的二次项，不宜用场强的复数形式进行计算。计算时，只取实部。 z w 和 S G 的瞬时值（与时间的关系）
电动力学讲稿●第四章电磁波的传播W= BE cos (k.X- ot)(24)E?[[1+ cos2(k -x - ot)]2由（23）式可得S的瞬时值。W和S的在一个周期的平均值.数学补充：设两个复函数f(t)=foe-ie！和g(t)=goe-io+i，Φ是它们的相位差。考虑它们的2元乘积在一个周期（T=）的平均值002元/fg=df.cos(ot)g。cos(wt-g)2元J0(25a)/12fog, cos =Re(['g)2可以证明：对于两个矢量函数f和g，有F.g==Re(J".g)(25b)2fxg-_Re(F*xg)(25c)2#运用上述公式，可得1Re(E".D+H*.B)=BW=42μ(26)611IS"-Re(E* × H)=-En2Vμ27
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 7 ( ) E [ ] ( ) k x t w E k x t ε ω ε ω = + ⋅ − = ⋅ − K K K K 1 cos 2 2 1 cos 2 0 2 2 0 （24） 由（23）式可得 S G 的瞬时值。 z w 和 S G 的在一个周期的平均值 数学补充： 设两个复函数 i t f t f e− ω = 0 ( ) 和 iωt iφ g t g e− + = 0 ( ) ，φ 是它们的相位差。考虑它们的 乘积在一个周期（ ω 2π T = ）的平均值 Re( ) 2 1 cos 2 1 cos( ) cos( ) 2 * 0 0 2 / 0 0 0 f g f g f g dtf t g t = = = − ∫ φ ω ω φ π ω π ω （25a） 可以证明：对于两个矢量函数 f G 和 g G ，有 Re( ) 2 1 * f g f g G G G G ⋅ = ⋅ （25b） Re( ) 2 1 * f g f g G G G G × = × （25c） ＃ 运用上述公式，可得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = × = = ⋅ + ⋅ = = S E H E n w E D H B E B G G G G G G G G 2 0 * 2 0 2 0 * * 2 1 Re( ) 2 1 2 1 2 1 Re( ) 4 1 μ ε μ ε （26）
电动力学讲稿●第四章电磁波的传播S2电磁波在介质界面上的反射与折射电磁波与光波一样，投射到介质分界面时会发生折射和反射现象，这个问题属于电磁场边值问题。电磁波最基本情形：平面电磁波问题：为什么平面电磁波是电磁波最基本情形？两个或多个频率的平面电磁波构成一个复杂的电磁波E(x,t)=ZA,E, expi(k,x-O, t)j构成E(x,t)的平面电磁波的频率是分离分布的。如果，构成E（≤，）的平面电磁波频率连续分布（取值），则E(x,t)= A(o)E (o)expi(k . x-0t) do反过来，对任意电磁波，可以作频谱展开。可以通过分析平面电磁波来研究一般电磁波。所以我们先讨论平面电磁波。、反射和折射定律当一束平面电磁波投射到介质表面时，在空间中存在入射、反射和折射（电磁）波E=E,expi(k.x-ot)入射E' =E,expi(kx-ot)反射折射E"=Eexpi(k"-x-ot)注意：电磁波在介质分界面处，波矢、振幅可以发生改变，但频率应不变。（问题：为何频率不变？其物理图象）1.电磁场边值关系[nx(E, -E)=0(1)nx(H, -H,)=d(2)n-(D, -D)= G(3)n.(B, -B)=0(4)上述关系是由Maxwell方程得到，对任意电磁场、任意介质均成立。它可以视为边界处的Maxwell方程。在一定频率下，土述边界条件只有两个是独立的说明：对于无自由电荷和传导电流分布系统，Maxwell方程8
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 8 §2 电磁波在介质界面上的反射与折射 电磁波与光波一样，投射到介质分界面时会发生折射和反射现象，这个问题属于电磁场 边值问题。 电磁波最基本情形：平面电磁波 问题：为什么平面电磁波是电磁波最基本情形？ 两个或多个频率的平面电磁波构成一个复杂的电磁波 ( ) = ∑ ( ⋅ − ) j j j j j E x t A E i k x ω t K K K K K , 0 exp 构成 E( ) x,t K K 的平面电磁波的频率是分离分布的。 如果，构成 E( ) x,t K K 的平面电磁波频率连续分布（取值），则 E(x t) () = A ω E (ω) i(k ⋅ x −ωt) dω ∫ K K K K K , 0 exp 反过来，对任意电磁波，可以作频谱展开。可以通过分析平面电磁波来研究一般电磁波。 所以我们先讨论平面电磁波。 一、 反射和折射定律 当一束平面电磁波投射到介质表面时，在空间中存在入射、反射和折射（电磁）波 ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − E E i k x t E E i k x t E E i k x t ω ω ω K K K K K K K K K K K K exp " exp ' exp '' 0 '' ' 0 ' 0 折射 反射 入射 注意：电磁波在介质分界面处，波矢、振幅可以发生改变，但频率应不变。（问题： 为何频率不变？其物理图象） 1．电磁场边值关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − = ⋅ − = × − = × − = 0 (4) (3) (2) 0 (1) 2 1 2 1 2 1 2 1 n B B n D D n H H n E E K K K G G K K K K G K K K σ α 上述关系是由 Maxwell 方程得到，对任意电磁场、任意介质均成立。它可以视为边界处的 Maxwell 方程。 在一定频率下，上述边界条件只有两个是独立的。 说明： 对于无自由电荷和传导电流分布系统，Maxwell 方程
电动力学讲稿●第四章电磁波的传播VxE=-_aB(5)atVxH-OD(6)atV.D=0(7)V.B=0(8)对一定频率的电磁波，由（5）和（6）式VxE=ioB(9)VxH=-i0sE=VxB=-i0sE矢量的旋度的散度始终为零，所以，Maxwell方程的（7）和（8）两式可以由（5）和（6）导出。故，对一定频率的电磁波，Maxwell方程只有两个是独立的。常选（5）和（6)。边值关系是从Maxwell方程导出的，所以边值关系也只有两个是独立的，（5）和（6）对应的边值关系为（1）和（2)，对于绝缘介质（实际需利用的边值关系），α=0，所以[nx(E, -E)=0(10)[nx(H, -H)=02.波矢关系式设介质分界面为无限大的平面，由电场强度的边值关系（1）nx(E+E)=nxE"nx(Eexpik.x+E,expik.x)=nxE,expik.x"分界面上z=0，上述关系对任意x、y均成立，所以，上式的三个指数因子必须在==0的平面上完全相等，有=k.x=k.x=k".x（当z=0时）（这样指数因子可以略去）。又由于x、y是任意的，根据上式，可得·波失关系式[k,=k’=k(11)[k,=k,=k)由上述条件可得波失k、K和k"共面说明：设入射波矢k在xz平面（如图），则k，=0，由（11）式，k，=k=0，所以反射波9
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∇ × = − 0 (8) 0 (7) (6) (5) B D t D H t B E K K K K K K 对一定频率的电磁波，由（5）和（6）式 ⎩ ⎨ ⎧ ∇ × = − ⇒ ∇ × = − ∇ × = H i E B i E E i B K L K K K K ωε ωεμ ω （9） 矢量的旋度的散度始终为零，所以，Maxwell 方程的（7）和（8）两式可以由（5）和（6） 导出。故，对一定频率的电磁波，Maxwell 方程只有两个是独立的。常选（5）和（6）。 边值关系是从 Maxwell 方程导出的，所以边值关系也只有两个是独立的，（5）和（6） 对应的边值关系为（1）和（2）， 对于绝缘介质（实际需利用的边值关系），α = 0 K ，所以 ( ) ⎪ ( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × − = × − = 0 0 2 1 2 1 n H H n E E K K K K K K （10） 2．波矢关系式 设介质分界面为无限大的平面，由 电场强度的边值关系（1） n (E E') n E" K K K K K × + = × ( ) exp " exp exp ' '' 0 ' 0 0 n E ik x n E ik x E ik x K K K K K K K K K K K = × ⋅ × ⋅ + ⋅ 分界面上 z = 0 ，上述关系对任意 x 、y 均成立，所以，上式的三个指数因子必 须在 z = 0 的平面上完全相等，有 k x k x k x K K K K K K ⇒ ⋅ = '⋅ = "⋅ （当 z = 0 时） （这样指数因子可以略去）。又由于 x 、 y 是任意的，根据上式，可得 z 波矢关系式 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⇒ ' '' ' '' y y y x x x k k k k k k （11） z 由上述条件可得波矢 k K 、 k ' K 和 k" K 共面 说明： 设入射波矢 k G 在 xz 平面（如图），则k y = 0，由（11）式， 0 ' '' k y = k y = ，所以反射波
电动力学讲稿●第四章电磁波的传播矢和折射波矢也在xz平面内。3.反射定律如图，以θ、"和"分别表示入射、反射和折射角，根据（11）式，ksingk,=ksing=k,=ksing↓(12)ksine100可得k=对单色平面波（P.1401.21）相速由于反射波和入射1=kvVs波处于同一介质，所以=k=k(13)代入（12）式，有=0=0(14)这就是平面电磁波的反射定律。4.折射定律由（11)式k,=ksing=k,=ksino""-V822singU=n21sing"kw"V2e,Mn21为介质2相对于介质1的折射率，平面电磁波的折射定律sine(15)=n21sin"讨论111c所以，介质的折射率1）电磁波在介质中的相速：1:VueVHosoueVu,e,n=u,e,(16)2）相对折射率（介质2相对于介质1）Vu2r62rn2Vu2e(17)n21 =n,u,eVurer3）介质的色散现象：对一般介质（除铁磁介质）有μ~μo所以10
电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 10 矢和折射波矢也在 xz 平面内。 3．反射定律 如图，以θ 、θ '和θ"分别表示入射、反射和折射角，根据（11）式， ' ' ' kx = k sinθ = kx = k sinθ ⇒ k k ' ' sin sin = θ θ （12） 对单色平面波（P.140 1.21）相速 με ω 1 = = k v ，可得 v k ω = 。由于反射波和入射 波处于同一介质，所以 ' ⇒ k = k （13） 代入（12）式，有 ' ⇒θ = θ （14） 这就是平面电磁波的反射定律。 4．折射定律 由（11）式 sin sin " '' '' kx = k θ = kx = k θ 21 1 1 2 2 2 1 " " sin " sin n v v v v k k ⇒ = = = = = ε μ ε μ θ θ 21 n 为介质 2 相对于介质 1 的折射率， 平面电磁波的折射定律 21 sin " sin = n θ θ （15） 讨论： 1）电磁波在介质中的相速： r r r r c v με μ ε μ ε μ ε = = = 1 1 1 0 0 ，所以，介质的折射率 r r n = μ ε （16） 2）相对折射率（介质 2 相对于介质 1） 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 21 μ ε μ ε μ ε μ ε = = = r r r r n n n （17） 3）介质的色散现象：对一般介质（除铁磁介质）有 μ ≈ μ 0 所以