恋彩数购租第三章柯西积分公式定理设f(z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域D内解析,则对任意z。E D,皆有f(z)dz.f(zo)2元面7.-Z0证因为f(z)在z 连续D则 Vε>0,3S(ε) >0,当-zo<时，f(z)-f(z)<结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 6 二、柯西积分公式 z0 D C 证 ( ) , 因为 f z 在 z0 连续 则 0, ( ) 0, 0 ( ) , , f z C D z D 设 在简单(或复合)闭曲线 上及所围 区域 内解析 则对任意 定理 皆有 0 0 1 ( ) ( ) . 2 C f z f z dz i z z = − , 当 z − z0 时 ( ) ( ) . 0 f z − f z
第三章复变函数的积分设以z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K：z一zo=R全在C的内部f(z)f(z)则$d =ddzJk z- Zoz. zoDf(zo)f(z)-f(zo)Kdz+d=ddzKK7-Zzoz -Zof(z)-f(zo)= 2元if(z)+6dzKZ-Zof(z)-f(zo)f(z)- f(zo)?dz.ds = 2元8.<dsKZ-ZoKKRZ-Zo[证毕]结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 7 D C K , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − = 0 R ( ) d C f z z z z − 则 0 ( ) d K f z z z z = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − − 0 0 ( ) ( ) d K f z f z z z z − + − 0 0 ( ) ( ) d K f z f z s z z − − d 2π . K s R = 0 0 ( ) ( ) d K f z f z z z z − − [证毕] C1 C2 0 = 2 ( ) if z
第三章复变函数的积分关于柯西积分公式的说明：(1)函数f(z)在D内部任一点z的值f(z),可以由f(z)在D的边界C上的值通过积分来确定。(---这是解析函数的又一特征)结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。(2)定理中要求z.在C内；若z.在C外，则f(z)dz = 0.2元;9c2-z,结运回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 8 关于柯西积分公式的说明: (-这是解析函数的又一特征) 结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相 等，则它们在整个区域上也相等。 0 0 ( ) ( ), ( ) f z D z f z f z D C (1)函数 在 内部任一点 的值 可以由 在 的边界 上的值通过积分来确定。 0 1 ( ) 0. 2 C f z dz i z z = −
第三章复变函数的积分(3)解析函数可用复积分表示f()dsf(z)其中在C上，z在C内2元7(4)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周CC : z = Zo +R.eio上的平均值。f(z)dz.f(zo + Rei)do.f(zo)2πi Jc z-Zo02元(5)通过柯西积分公式，可以得到dz =2元i f(z)结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 9 其中在C上，z在C内. 1 ( ) ( ) . 2 C f f z d i z = − (4) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周C 上的平均值. 0 : i C z z R e = + 0 0 1 ( ) ( ) 2 C f z f z dz i z z = − 2 0 0 1 ( ) . 2 i f z Re d = + (3) 解析函数可用复积分表示 0 0 ( ) 2 ( ). C f z dz i f z z z = −
第三章复变函数的积分三、典型例题e例1计算I=dz,其中C为元z+=2C(1) / z [=1; (2) / z[= 2.0x解：e在复平面上处处解析元A(1) 1 = 0 (?)(2) I = 2元ie 2= 2元i(-i) = 2元.结10回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 1010 1 , 2 (1) | | 1; (2) | | 2. z C e I dz C z i z z = + = = 例 计算 其中 为 (1) 0 (?). I = 2 (2) 2 i I i e − = 三、典型例题 解： z e 在复平面上处处解析 C2 x y C1 O 2 i − = − = 2 ( ) 2 . i i