陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.3 基本定理的推广——复合闭路定理

陕品师乾大学乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI基本定理的推广第三节一复合闭路定理一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题四、小结与思考

第三节 基本定理的推广 一、问题的提出 二、复合闭路定理 三、典型例题 复合闭路定理 四、小结与思考

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMA1N一、问题的提出实例，计算z=2 z - 1因为z=2是包含 z=1在内的闭曲线，根据本章第一节例4可知。dz=2元i.z=2-1由此希望将基本定理推广到多连域中

一、问题的提出  2  d . 1 1 , z z z 实例 计算 因为 z  2是包含 z  1在内的闭曲线, 根据本章第一节例4可知,     2  d 2 . 1 1 z z i z 由此希望将基本定理推广到多连域中

陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N二、复合闭路定理1.闭路变形原理设函数 f(z)在多连通域内解析，C 及C,为D内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向),BCBC及C,为边界的区域DDD全含于D.作两段不相交的弧段AA和BB

二、复合闭路定理 1. 闭路变形原理 设函数 f (z)在多连通域内解析 , ( ), 1 单闭曲线 正向为逆时针方向 C 及C 为 D内的任意两条简 . 1 1 D C C D 全含于 及 为边界的区域 D C C1 D1 A A B B 作两段不相交的弧段 AA和 BB , ︵ ︵

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNCRM为了讨论方便,添加字符 E,E',F,F'显然曲线AEBB'E'AA,AA'F'B'BFA均为封闭曲线，因为它们的内部全含于 D，故 f(z)dz = 0,AEBB'E'A'ABf f(z)dz = 0.DAA'F'B'BFAAEBB'E'A'A=AEB+BB'+B'E'A'+AAAA'F'B'BFA=AA'+A'F'B'+B'B+BFA

D C C1 D1 A A B B E E F F 显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA 为了讨论方便,添加字符 E, E , F, F , 均为封闭曲线 . 因为它们的内部全含于 D, ( )d  0,  AEBBEAA 故 f z z ( )d  0.  AAFBBFA f z z AEBBEAA  AEB  BB  BEA  AA, ︵ ︵ ︵ ︵ AAFBBFA  AA  AFB  BB  BFA, ︵ ︵ ︵ ︵

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXENOβ f(z)dz = 0, 得由 f(z)dz +AEBB'E'A'AAA'F'B'BFAf f(z)dz + ff(z)dz+ ff(z)dz+ ff(z)dzAAC+ f f(z)dz + f f(z)dz = 0,B'BBB'B福即 ff(z)dz+ ff(z)dz = 0,福CCH或ff(z)dz = ff(z)dz.C

 AEBBEAA 由 f (z)dz  ( )d  0,  AAFBBFA f z z 得 D C C1 D1 A A B B E E F F  C f (z)dz    1 ( )d C f z z    AA f (z)dz ︵    A A f (z)dz ︵  ( )d  0,  BB f z z ︵    B B f (z)dz ︵ ( )d ( )d 0, 1      C C 即 f z z f z z ( )d ( )d . 1    C C 或 f z z f z z