「例2]变速直线运动的路程问题 已知速度=v(t,求在时间间隔a,b内 所走过的路程 (1)细分:在,b区间任意插入分点 a=t0<t<…<tk-1<k<…<tn=b 将{a,b分成n个子区间t1,t1k=1,2,…,m) (2)取近似取τ∈[t1,t以匀速近似变速 ASk≈v(k)·4tk(i=1,…,n) (3)求和:s=∑4≈∑叫)A k=1 k=1 (4)取极限: ∑v(zk),4k 2021220 →>0 k=1
2021/2/20 6 . ( ), [ , ] s v v t a b 所走过的路程 已知速度 = 求在时间间隔 内 a t t t t t b = 0 1 k−1 k n = [例2] 变速直线运动的路程问题 s v( ) t (i 1, ,n) k k k = = = = n k k k n k k s s v t 1 1 ( ) = → = n k k k s v t 1 0 lim ( ) (1)细分： 在[a, b]区间任意插入分点: [ , ] [ , ]( 1, 2, , ) 将 a b 分 成n个子区间t k−1 t k k = n (4) 取极限: (2)取近似： 任取 k [t k−1 , t k ] 以匀速近似变速 (3)求和：
二、定积分的概念 (一)黎曼积分定义: 设函数f:{a,b→R,对区间a,b 作任意划分即在[a,b中插入一组分点 a=x0<x1<…<xk-1<x<…<xn=b 记第k个小区间xk1,xk】(k=1,…,n)的 长度为4xk=xk-xk1;任取∈|xk=1,xk 构造和式:∑f()x,记=mx{4xk =1 2021/2/20
2021/2/20 7 二、定积分的概念 （一）黎曼积分定义： : ( ) , max , ; [ , ], [ , ] ( 1, , ) , [ , ] : :[ , ] , [ , ] 1 1 1 1 1 0 1 1 k k n n k k k k k k k k k k k k k n f x x x x x x x k x x k n a x x x x x b a b f a b R a b = − − − − = = − = = = → 构造和式 记 长度为 任 取 记 第 个小区间 的 作任意划分 即 在 中插入一组分点 设函数 对区间
如果和式极限imf(5k)4xk存在则 k=1 称∫在|a,b上可积记f∈Ra,b并且 称此极限值为f(x)在[a,b上的定积分 一积分上限 记作: ∫f(x)dx=mim∑f(5),△xk k=1 积分下限定积分是: a,b称为积分区间 积分和式的极限 [例1曲边梯形的面积A=f(x)d b [例21变速直线运动的路程s=|v(dt 2021/2/20
2021/2/20 8 ( ) [ , ] . [ , ] , [ , ]; lim ( ) , 1 0 称此极限值为 在 上的定积分 称 在 上可积 记 并 且 如果和式极限 存 在 则 f x a b f a b f R a b f x n k k k = → k n k k b a f x dx f x = = → ( ) lim ( ) 1 0 记作: 积分上限 积分下限 [a, b] 称为积分区间 定积分是 : 积分和式的极限 = b a A f (x)dx = b a s v(t)dt [例1]曲边梯形的面积 [例2]变速直线运动的路程
(二)定积分的几何意义 b (1)若f(x)≥0,则「f(x)dx=A,即 定积分表示曲边梯形!积 (2)若f(x)≤0,则「f(x)d=-A,即 定积分表示曲边梯形的面积的负值 14≈-(5),Au f(片 y=f(r) 2021/2/20
2021/2/20 9 定积分表示曲边梯形的面 积 (1)若f (x) 0,则 f (x)dx A, 即 b a = 定积分表示曲边梯形的面积的负值 (2)若f (x) 0,则 f (x)dx A, 即 b a = − （二）定积分的几何意义 x y a xi−1 i xi b ( ) i f y = f (x) o i i i A − f ( )x
「例证明f(x)=C在[a,b上可积 证!任给{a,b的一个划分{xkB 任取5k∈xk-1,xkl(k=1,…,m) →∑∫(5)4xk=∑C4xk k =1 ∑4xk=C(b-a) k=1 →Im∑∫(5)4xk=C(b-a k=1 b b 即f(x)dx=ca=C(b-a) 2021/2/20
2021/2/20 10 [例1] 证明f (x) = C在[a, b]上可积 [证] [ , ] ( 1, , ) [ , ] 1 0 x x k n a b x k k k n k k − = = 任 取 任 给 的一个划分 = = = n k k n k f k xk C x 1 1 ( ) ( ) 1 C x C b a n k = k = − = f (x)dx C dx C(b a) b a b a = = − 即 lim ( ) ( ) 1 0 f x C b a n k k k = − = →