那么,函数f(x)在半平面Res>Bo上存在拉普拉斯变换, 且f(s)解析。 证明:(1) f(r) ldx < 64a(o-)x dx 所以,函数f(x)在半平面Res>B0上存在拉普拉斯变换
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 那么，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换， 且f(s) ̃ 解析。 证明 :(1) 0 ( ) sx f x e dx + − 0 ( ) 0 x Me dx + − − 0 0 , M = − 所以，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换
(2)证明f(s)解析 取β>B1>B0(1是任意实常数),则有: +∞O f(xe SX < f(xe Sx oo Me(-) 0 (a-B)2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 取β>β1>β0 (β1是任意实常数)，则有： (2) 证明 f(s) ̃ 解析 0 ( ) sx f x e dx s + − 0 ( ) sx f x e dx s + − 1 0 ( ) 0 x Mxe dx + − − 2 0 ( ) M = −
+∞O 说明积分: f(xe sx dx 0 S 在半平面Res>0上一致收敛,所以,可交换积分与微分次 序,即 f(s) f(xe ds Jo f(x) s d3 于是得: M f'(s)≤ (-B0)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 说明积分： 0 ( ) sx f x e dx s + − 0 ( ) ( ) d d sx f s f x e dx ds ds + − = 在半平面Res>β0上一致收敛，所以，可交换积分与微分次 序，即： 0 ( ) d sx f x e dx ds + − = 于是得： 0 ( ) ( ) M f s −
所以,f(s)的导数在半平面Res>上处处存在且有限,因 此,函数f(x)在半平面Res>P上存在拉普拉斯变换,且f() 解析。 4、利用定义求函数的拉普拉斯变换 例1求函数f(x)的拉普拉斯变换 (1)(O)≈J1(≥0) O,(t<0) (2),sink,cosk,(k为实常数) (3),e,(a为实常数)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 所以，f(s) ̃ 的导数在半平面Res>β0上处处存在且有限，因 此，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换，且f(s) ̃ 解析。 例1 求函数f(x)的拉普拉斯变换 1,( 0) (1), ( ) 0,( 0) t u t t = 4、利用定义求函数的拉普拉斯变换 (2),sin ,cos ,( kt kt k为实常数） (3), ,( at e a为实常数）
解:(1)由拉氏变换定义有: O sx st+∞ S Re(s)>0 st+∞ 已
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 解 :(1) 由拉氏变换定义有： 0 ( ) 1 sx L u t e dt + − = 0 1 st e s − + = − Re( ) 0 0 1 1 s st e s s − + = − =