命题热点 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法设直线l,l2 的方向向量分别为a2b,平面aB的法向量分别为e1,e2,A,BC分别为平 面a内的相异且不共线的三点(其中l1与2不重合,a与B不重合)则 (1)h1l2→ab台存在实数λ,使b=a(a0)l1l2分a⊥beab=0 (2)1⊥a台ale1台存在实数使e1=1a(a0)1aae1=0台存在 非零实数A12使a-=41AB+2AC (3)aBee1e2兮存在实数λ,使 e2=e1(e10),a⊥Be1⊥e2eee2=0
-6- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1 ,l2 的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1 ,e2 ,A,B,C分别为平 面α内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,α与β不重合),则 (1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0. (2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在 非零实数λ1 ,λ2 ,使a=λ1 (3)α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使 e2=λe1 (e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0. 𝐴 𝐵 +λ2 𝐴 𝐶
命题热点 对点训练在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°BC=2,CC1=4, 点E在线段BB1上,且EB1=1,DFG分别为CC1,CB1,C1A1的中点 求证:(1)B1D⊥平面ABD (2)平面EGFH平面ABD 证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴 z轴建立空间直角坐标系,如图 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4) 设BA=a,则A(a10,0) 所以BA=(a,00),BD=(0,2,2) B1D=(0,2,-2),B1D·BA=0,B1D·BD=0+4-4=0, 即B1D⊥BA,B1D⊥BD, 又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD
-7- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90° ,BC=2,CC1=4, 点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1 ,C1B1 ,C1A1的中点. 求证:(1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD. 证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1 (0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0), 所以 𝐵 𝐴 =(a,0,0), 𝐵 𝐷 =(0,2,2), 𝐵 1 𝐷 =(0,2,-2),𝐵 1 𝐷 · 𝐵 𝐴 =0,𝐵 1 𝐷 · 𝐵 𝐷 =0+4-4=0, 即 B1D⊥BA,B1D⊥BD, 又 BA∩BD=B,因此 B1D⊥平 面 ABD
命题热点 (2)()知E03(214)0.4 则EG=(2,1,1),EF=(0,1,1),B1D·EG=0+22 0,B1D·EF=0+2-2=0, 即B1D⊥EG,B1D⊥EF 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF 结合(1)可知平面EGF平面ABD
-8- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2)由(1)知,E(0,0,3),G 𝑎 2 ,1,4 ,F(0,1,4), 则𝐸 𝐺 = 𝑎 2 ,1,1 , 𝐸 𝐹 =(0,1,1),𝐵 1 𝐷 ·𝐸 𝐺 =0+2-2 =0,𝐵 1 𝐷 ·𝐸 𝐹 =0+2-2=0, 即B1D⊥EG,B1D⊥EF, 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD
命题热点二 利用向量求空间角 【思考】如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国,理 D B 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点 (1)证明直线CE平面PAB (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为4求一面 角MAB-D的余弦值
-9- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用向量求空间角 【思考】 如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国Ⅱ,理19) 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90° ,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45° ,求二面 角M-AB-D的余弦值. 1 2
命题热点二 (1)证明:取PA的中点F连接EF,BF 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD, 又BC=AD所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形CE∥ BE 又BFC平面PAB、CE女平面PAB故CE∥平面PAB
-10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (1)证明: 取 PA 的中点 F,连接 EF,BF. 因为 E 是 PD 的中点,所以 EF ∥AD,EF=12 AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得 BC∥AD, 又 BC=12 AD,所以 EF BC,四边形 BCEF 是平行四边形,CE ∥ BF, 又 BF ⊂平面 PAB,CE ⊄平面 PAB,故 CE ∥平面 PAB