命题热点二 (2)解:由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点AB的方向为x轴 正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A0.0).B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3,PC=(10.-3),AB=(1,0,0) ZE/_E 设M(xy2)0<x<1),则BM=(x-1y2)PM=(xy-12x√3) 因为BM与底面ABCD所成的角为45° 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量
-11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2) 解: 由已知得 BA ⊥AD,以 A 为坐标原点,𝐴 𝐵 的方向为 x 轴 正方向,|𝐴 𝐵 |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), P(0,1, 3), 𝑃 𝐶 =(1,0,- 3), 𝐴 𝐵 =(1,0,0). 设 M(x,y,z)(0<x<1),则𝐵 𝑀 =(x-1,y,z),𝑃 𝑀 =(x,y-1,z- 3). 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°, 而 n=(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量
命题热点二 所以cos<BM,n>=sin45° 2 (x-1)2+y2+z2 即(x-12+y2-2=0 又M在棱PC上,设PM=PC,则 x=y=1=3-√3λ x=1+ x=1 由①②解得{y=1,(舍去){y=1 所以M(1212)从而=(1212)
-12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 所以|cos < 𝐵 𝑀 ,n>|=sin 45°, |𝑧| (𝑥-1)2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 22 , 即(x-1)2 +y 2-z 2 = 0. ① 又 M 在棱 PC 上,设 𝑃 𝑀 = 𝜆 𝑃 𝐶 ,则 x= λ,y=1,z= 3 − 3𝜆. ② 由 ①,②解得 𝑥 = 1 + 22 , 𝑦 = 1, 𝑧 = - 62 (舍去), 𝑥 = 1- 22 , 𝑦 = 1, 𝑧 = 62 , 所以 M 1- 22 ,1, 62 ,从而 𝐴 𝑀 = 1- 22 ,1, 62
命题热点二 设m=(x0z0)是平面ABM的法向量,则 Im: AM=0, Hn((2-V2)xo+2yo +V620=0 m·AB=0 x0= 所以可取m=(0,V6,2) 于是cos<m,n mmn mIn 因此二面角MAB-D的余弦值为
-13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 设 m =(x 0,y 0,z 0)是平面 ABM 的法向量,则 𝑚·𝐴 𝑀 = 0, 𝑚·𝐴 𝐵 = 0, 即 (2- 2)𝑥0 + 2𝑦0 + 6 𝑧 0 = 0, 𝑥0 = 0, 所以可取 m =(0,- 6,2). 于是 cos < m,n>= 𝑚·𝑛 |𝑚||𝑛| = 105 . 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 105
命题热点二 题后反思用向量求空间角的方法 设直线l12的方向向量分别为a,b,平面aB的法向量分别为n,m 1)若异面直线h与b所成的角为,则cos allel (2)若直线h与平面a所成的角为O,则sinO=4 (3)若平面a与平面B所成的二面角为B则(s=m
-14- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量求空间角的方法: 设直线l1 ,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n,m. (1)若异面直线 l1与 l2所成的角为 θ,则 cos θ= |𝑎·𝑏| |𝑎||𝑏| . (2)若直线 l1与平面 α 所成的角为 θ,则 sin θ= |𝑎·𝑛| |𝑎||𝑛| . (3)若平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ,则|cos θ|=|𝑛·𝑚| |𝑛||𝑚|