7-4离散控制系统的数学模型 3差分方程的解法 (1)迭代法 例2已知差分方程为c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 其输入系列为r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(I)=1 试用迭代法求解系统的输出序列c(k):k=0,12,.,10。 解：根据差分方程得递推关系：c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) c(0)=0,c(1)=1,c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966 c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=3025 c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=9330 c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=86526
7-4 离散控制系统的数学模型 3 差分方程的解法 （1）迭代法 例2 已知差分方程为c(k) − 5c(k −1) + 6c(k − 2) = r(k) 其输入系列为r(k) = 1,初始条件为c(0) = 0, c(1) = 1 试用迭代法求解系统的输出序列c(k): k = 0,1,2, ,1 0。 解： 根据差分方程得递推关系： c(0) = 0，c(1) = 1，c(2) = r(2) + 5c(1) − 6c(0) = 6 c(3) = r(3) + 5c(2) − 6c(1) = 2 5 c(6) = r(6) + 5c(5) − 6c(4) = 966 c(4) = r(4) + 5c(3) − 6c(2) = 9 0 c(5) = r(5) + 5c(4) − 6c(3) = 301 c(8) = r(8) + 5c(7) − 6c(6) = 9330 c(9) = r(9) + 5c(8) − 6c(7) = 28501 c(1 0) = r(1 0) + 5c(9) − 6c(8) = 86526 c(7) = r(7) + 5c(6) − 6c(5) = 3025 c(k ) = r(k ) + 5c(k −1) − 6c(k − 2)
7-4离散控制系统的数学模型 (2)z变换法 •先对差分方程两边求z变换，得到以z为变量的代数方程， 整理得到C(z) •对C(z)求反变换求得输出序列c(k)。 例3己知差分方程c(k+1)-bc(k)=r(k),输入系列为r(k)=a, 设初始条件为c(0)=0,试求输出序列c(t)。 解：对差分方程两边求变换 由z变换的超前定理：Zft+kT)〗=[F(z)-∑f(mT)z" =[C(=)-c(0)=]-bC(=)==C(2)-bC()= -a
7-4 离散控制系统的数学模型 （2）z变换法 •先对差分方程两边求z变换，得到以z为变量的代数方程， •整理得到C(z) •对C(z)求反变换求得输出序列c(k)。 设初始条件为 ，试求输出序列 。 例 已知差分方程 输入系列为 (0) 0 ( ) 3 ( 1) ( ) ( ), ( ) , * c c t c k bc k r k r k a k = + − = = [ ( ) (0) ] ( ) 1 0 z C z − c z − bC z 解： 对差分方程两边求z变换 − = − + = − 1 0 [ ( )] [ ( ) ( ) ] k m k m 由z变换的超前定理：Z f t k T z F z f m T z z a z zC z bC z − = ( ) − ( ) =
7-4离散控制系统的数学模型 EC(z)-bC(2)=- z-0 整理得：C(z)= (z-a)(z-b) 令 C() 1 (z-a)(z-b)(a-b)(z-a)(a-b)(z-b) 则C(z)= 1 (a-b)z-a z-b cn)=Z'[C(e】= a-a”-b") 注意：c(nT)有可能和T没有关系！
7-4 离散控制系统的数学模型 ( )( ) ( ) z a z b z C z − − 整理得： = z a z zC z bC z − ( ) − ( ) = ( )( ) ( ) 1 z z a z b C z − − 令： = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 a b z a a b z − b − − − − = [ ] ( ) 1 ( ) z b z z a z a b C z − − − − 则 = ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 n n a b a b c nT Z C z − − = = − ( )] ( ) ( ) 1 ( ) [ 0 * a b t nT a b c t n n n − − − = + = 注意：c(nT ) 有可能和T 没有关系！
7-4离散控制系统的数学模型 二脉冲传递函数 1定义 零初始条件时，系统输出信号的z变换与输入信 号的z变换之比，定义为脉冲传递函数。 c(1 C(a) T G(z)= F(s R() T c(t) 式中，C(z)=Zc(t)l,R(z)=Z[r(t)] 所谓零初始条件，是指在t≤O时，输入脉冲序列的各采 样值r(一T),r(一2T),以及输出脉冲序列的各采 样值c(-T),c(-2T),.均为零。 脉冲传递函数反映了采样开关与连续环节的组合体的输入输 出关系
7-4 离散控制系统的数学模型 二 脉冲传递函数 1 定义 零初始条件时，系统输出信号的 z 变换与输入信 号的 z 变换之比，定义为脉冲传递函数。 ( ) ( ) ( ) R z C z G z = 脉冲传递函数反映了采样开关与连续环节的组合体的输入/输 出关系。 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] * * 式中，C z = Z c t R z = Z r t 所谓零初始条件，是指在 时，输入脉冲序列的各采 样值 ，以及输出脉冲序列的各采 样值 均为零。 t 0 r(−T ),r(−2T ), c(−T ), c(−2T ),
7-4离散控制系统的数学模型 2脉冲传递函数的求法 (1)准备知识 8(t)=L[G(s)] ① 单位脉冲信号6(t) 单位脉冲响应g(t) 传函G(s) t<0时，g(t)=0 -00 ②g'(t)=∑g(nT)6(t-nT) n=0 ZIG(s=ZIL[G(s川=ZIg()=Zg()=∑gnT)z" n=0 ③ c(nT)=r(nT)*g(nT)=>r(nT).g(kT-nT) n=0 ZIr(nT)*g(nT)]=Z[r(nT)].Z[8(nT)]
7-4 离散控制系统的数学模型 2 脉冲传递函数的求法 ( ) [ ( )] 1 g t L G s − （ = 1）准备知识 ① 单位脉冲信号 (t) 单位脉冲响应g(t) ② + = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n g t g nT t nT + = − = 0 * [ ( )] ( ) n n Z g t g nT z ③ = = = − k n c nT r nT g nT r nT g k T nT 0 ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) Z[r(nT)* g(nT)] = Z[r(nT)]Z[g(nT)] t 0时，g(t) = 0 = = = − [ ( )] [ [ ( )]] [ ( )] 1 Z G s Z L G s Z g t