7-4离散控制系统的数学模型 连续系统 离散系统 反映系统 导数 运动过程 差分 (动态) 微分方程 差分方程 拉氏变换 z变换 传递函数 脉冲传递函数
7-4 离散控制系统的数学模型 连续系统 传递函数 脉冲传递函数 微分方程 差分方程 离散系统 反映系统 运动过程 （动态） 拉氏变换 导数 差分 z变换
7-4离散控制系统的数学模型 一差分方程 1差分：两相邻采样信号值的差值。 (1)前向差分 设连续函数为y(t),其采样函数为y(k), 通常将y(kT)简记作y(k) 其一阶前向差分为△y(k)=y(k+1)-y(k) 其二阶前向差分： △2y(k)=△[△y(k)】=A[yk+I)-y(k] =△y(k+1)-△y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)
7-4 离散控制系统的数学模型 一 差分方程 1 差分：两相邻采样信号值的差值。 设连续函数为 y(t) ，其采样函数为 y(k)， 其一阶前向差分为 y(k ) = y(k +1) − y(k ) 其二阶前向差分： ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k = y k = y k + − y k （1）前向差分 通常将y(kT)简记作y(k) = y(k +1) − y(k ) = y(k + 2) − 2 y(k +1) + y(k )
7-4离散控制系统的数学模型 (1)前向差分 一阶前向差分为： △y(k)=y(k+1-y(k) 二阶前向差分为： △2y(k)=△[△y(k)]=△[y(k+1)-(k)] =△y(k+1)-△y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k) (2)后向差分 一阶后向差分为： Vy(k)=y(k)-y(k-1) 二阶后向差分为： V2y(k)=7[Vy(k)】]=V[y(k)-y(k-1] =Vy(k)-7y(k-1)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2)
7-4 离散控制系统的数学模型 （2）后向差分 一阶后向差分为： y(k ) = y(k ) − y(k −1) 二阶后向差分为： = y(k ) − y(k −1) = y(k ) − 2 y(k −1) + y(k − 2) 一阶前向差分为: y(k ) = y(k +1) − y(k ) 二阶前向差分为： ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k = y k = y k + − y k （1）前向差分 = y(k +1) − y(k ) = y(k + 2) − 2 y(k +1) + y(k ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( 1)] 2 y k = y k = y k − y k −
7-4离散控制系统的数学模型 2差分方程：采用差分形式描述离散系统输入/输出之间 动态关系的方程。 设离散控制系统的输入序列为r(n),输出序列为c(n) (1)前向差分方程 c(k+n)+ac(k+n-1)+.+a,-c(k+1)+a,c(k) =bor(k+m)+br(k+m-1)+.+bmr(k+1)+br(k) n阶常系数线性前向差分方程 (2)后向差分方程 c(k)+ac(k-1)+.+an-c(k-n+1)+a,c(k-n) =bor(k)+br(k-1)+.+bmr(k-m+1)+br(k-m) n阶常系数线性后向差分方程
7-4 离散控制系统的数学模型 2 差分方程：采用差分形式描述离散系统输入/输出之间 动态关系的方程。 （1）前向差分方程 设离散控制系统的输入序列为r(n)，输出序列为c(n) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k m b r k m b r k b r k c k n a c k n a c k a c k m m n n = + + + − + + + + + + + − + + + + − − ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k b r k b r k m b r k m c k a c k a c k n a c k n m m n n = + − + + − + + − + − + + − + + − − − （2）后向差分方程 n阶常系数线性前向差分方程 n阶常系数线性后向差分方程
7-4离散控制系统的数学模型 例1：求如图所示系统的差分方程。 r(t) c(t) 解：.c(t)=Ke(t)=Kr(t)-Kc(t) .c(t)+Kc(t)=Kr(t) c☑)= dc(t) 在t=kT时的值可用一阶前向 dt 差分来近似，即： e(()=de()=lim (k+-c(k)c(k+1)-c(k) dt T→0 T T 差分方程为：c(k+1)+(kT-1)c(k)=kTr(k)
7-4 离散控制系统的数学模型 例1：求如图所示系统的差分方程。 dt dc t c t ( ) ( ) = 在t = k T 时的值可用一阶前向 解： c (t) = K e(t) = K r(t) − K c(t) c (t) + K c(t) = K r(t) 差分来近似，即： dt dc t c t ( ) ( ) = T c k c k T ( 1) ( ) lim 0 + − = → 差分方程为： c(k +1) + (k T −1)c(k ) = kTr(k ) T c(k +1) − c(k)