第四节 第十二章 一阶线性微分方程 阶线性微分方程 二、伯努利方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 第十二章
阶线性微分方程 阶线性微分方程标准形式:9+P(x)y=Qx) ax 若Q(x)=0,称为齐次方程; 若Qx)年0,称为非齐次方程 d 1.解齐次方程+P(x)y=0 dx 分离变量 dy==P(x)dx 两边积分得ny=P(xdx+nC 故通解为 Ce-jp(dx 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.解非齐次方程 d_d +P(xy=o() 用常数变易法作变换yx)=()eP(x)dx则 le P(- P(ue IPc)d +Plame jP(x)dx Q() d 即 dr(es p(x)dx 两端积分得=」ox) J P(x)dx dx+C 故原方程的通解y=e P(x)dx Q(xe P(x)dx dx+c 即y=c2Px)dx+ehrx)dr Q()e ∫P(x)dx 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + = + − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy 2 例1解方程 =(x+1 dx x+1 dy 2 dy 2dx 解:先解 0,即 dx x+1 x+1 积分得ny=2lnx+1+lnC|,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=(x)(x+1)2,则 y=l'(x+1)2+2l(x+1) 代入非齐次方程得l′=(x+1)2 解得 (x+1)2+C 故原方程通解为y=(x+1)22(x+1)2+C 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx X 例2.求方程 dy=0的通解 xy Ly vy 解:注意xy同号,当x>0时,=2dx,故方程可 X 变形为2 d/x√x2 4y-y==7|这是以为变量功为 由一阶线性方程通解公式,得 d d e2y[∫-e2dx+lnC dy+In C y 所求通解为yeV=C(C≠0) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 2d , d 0 , x x x 当x 时 = y P y 2 1 ( ) = − y Q y 1 ( ) = − 由一阶线性方程通解公式 , 得 x = e e y 1 − 故方程可 变形为 d 0 d 2 3 = − + y y x x y y x − y 1 dy + ln C 所求通解为 y e = C (C 0) y x 这是以 x 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束