P(x,y)dx=1im∑P(k,mk)△xk2 -0 称为对x的曲线积分 Q(x,y)dy=lim 2o(k, nk )Ayk 称为对y的曲线积分 若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作 , Fds=L P(x, y)dx+(x,ydy 类似地,若I为空间曲线弧,记ds=(dx,dy,dz) F(x,y,z)=(P(x,y,=),Q(x,y,z),R(x,y,2) Fds= P(x, y, z)dx+Q(x,y, z)dy+R(x,y, z )dz 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x, dy) , 对坐标的曲线积分也可写作 = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3性质 1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L(i=1,…,k) 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∑J,Pxyx+(xyy (2)用L表示L的反向弧,则 J P(x, y)dx+ O(x, y)dy=-f, P(x, ydx+@(x,y)dy 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 定积分是第二类曲线积分的特例 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理:设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续L的参数方程为{x=0):a→则曲线积分 y=y(t 存在,且有 P(x, y)dx+o(x, y)d {P(,yv()0(t)+Q(),v()v(o)dt 证明:下面先证 P(x,y)x=|.P[q(),v()()dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t : → , 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
根据定义,Px,yx=m∑P(,n)x 0 设分点x对应参数t1,点(51,m)对应参数z1,由于 △x1=x1-x-1=0(t1)-9(1-1)=(2)M P(x,y)dx=imn∑P(z),v(r)(7)△ →0 因为L为光滑弧,所以'()连续 lim∑P((1),v(r)q(r)M PI(t),y(olo(tdt 同理可证∫Q(xy)y=o(wov(dt 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i =()t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ()t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别是,如果L的方程为y=v(x),x:a→>b,则 P(x, y)dx+o(, y)dy IP[x, v(x)+Qx,v(x)]y'(x)dx x=o(t) 对空间光滑曲线弧I:{y=W(0)t:a→B类似有 z=O(t) P(r, y, z)dx+o(x, v, zdy+r(x,y, z)dz B P[o(,y(),o()o() +Q0(1),v(t),O()v() +Rig(),y(o),o(tlo'(t)dt HIGH EDUCATION PRESS 定理目录上页下页返回结束
特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a →b, 则 P x x Q x x x b a [ , ( )] [ , ( )] d = + (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有 = (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( ) → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束