第二节 第十二章 可分离变量儆分方程 可分离变量方程 dy fi(x)f2(y) dx M,(xM2(y)dx+m(x)n2()dy=0 转化 解分离变量方程g(y)dy=f(x)d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2 第十二章
分离变量方程的解法 g(y)dy=f(x)dx 设y=(x)是方程①的解,则有恒等式 go(xo(x)dx=f(x)dx 两边积分,得「g()dy=f(x)dx G(y) F(r) 则有 G(y)=F(x)+C② 当G(y)与F(x)可微且G()=g()0时,上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数y=φ(x)是①的解.同样,当F(x) f(x)A0时,由②确定的隐函数x=v()也是①的解 称②为方程①的隐式通解,或通积分 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求微分方程 d y=3x2y的通解 解:分离变量得y=3x2dx说明在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分∫=j3x2dr 变形,因此可能增、 减解 得ny|=x3+C1 或 即y=± +C1=±e In +In C C=±e y=Ce (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx+(x+1)d y=0 例2.解初值问题 y(0)=1 解:分离变量得 d dx 1+x 两边积分得Iny|=ln InC √x2+1 即 yx2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yx2+1=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求下述微分方程的通解 y'=sin(x-y+l) 解:令=x-y+1,则 故有 u =sin u 即 secu du=dx 解得 tanu=x+( 所求通解:tn(x-y+1)=x+C(C为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 u = x − y +1, 则 故有 u u 2 1− = sin 即 解得 tanu = x +C 所求通解 tan(x − y +1) = x +C ( C 为任意常数 ) : 机动 目录 上页 下页 返回 结束