第三节 第十二章 齐次方程 齐次方程 2二、可化为齐次方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第十二章
齐次方程 形如=a(")的方程叫做齐次方程 dx dy d 解法:令=,则y=x u+x dx du 代入原方程得l+x dx p( du d 分离变量 p(u)-u x du d x 两边积分,得 Q()-l X 积分后再用代替u,便得原方程的通解 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1解微分方程y=+tm 解:令=,则y=4+x1,代入原方程得 u+xu=u+ tan u dx 分离变量 d u sin ul dx 两边积分 d u sin u 得 n sinu=nx+nC,即sin=Cx 故原方程的通解为sin=Cx(C为任意常数) (当C=0时,y=0也是方程的解) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解微分方程 tan . x y x y y = + 解: , x y 令u = 则y = u + xu , 代入原方程得 u + xu = u + tanu 分离变量 x x u u u d d sin cos = 两边积分 = x x u u u d d sin cos 得 ln sin u = ln x + ln C , 即 sinu = C x 故原方程的通解为 C x x y sin = ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.解微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0. 解:方程变形为=2y-(y)2令m=y,则有 dx utxu'=2u-u du d 分离变量 )d= 积分得h/4-1 Inx|+n(C|,即 x(l-1) 代回原变量得通解x(y-x)=Cy(C为任意常数) 说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在 求解过程中丢失了 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解微分方程 解: 2 ( ) , d d 2 x y x y x y 方程变形为 = − , x y 令 u = 则有 2 u + xu = 2u − u 分离变量 x x u u du d 2 = − − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 代回原变量得通解 即 C u x u = ( −1) x ( y − x ) = Cy 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状 解:设光源在坐标原点,取x轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线M,y,∠T 由光的反射定律:入射角=反射角 可得OMA=∠OAM=a 从而AO=OM A P 而AO=AP-OP= cota-x X OM 于是得微分方程 X x-+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o y x 可得 OMA = OAM = 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y − = 2 2 OM = x + y T M A P y 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP −OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y − 2 2 = x + y 机动 目录 上页 下页 返回 结束