泰勒展式的唯一性：设Qn(x）是至多为n次的多项式，函数f(x）在某个U(xo,S）中有定义，且在x=x。处有n阶导数。若f(x)=Q,(x)+o(x-x)") ，则 Q,(x)= T,(x) 。解利用高阶无穷小的定义。注：以后此结论可以直接用
解 泰勒展式的唯一性： 设 是至多为 次的多项式， 若 ， 注：以后此结论可以直接用。 函数 在某个 中有定义，且在 处有 阶导数。 利用高阶无穷小的定义。 则
（3）带拉格朗日余项的泰勒定理：泰勒定理：设函数f(x）在包含x=x，的开区间（a,b）内具有n+1阶导函数，则对VxE(a,b)，有f(n+1)(E)f(n)(x))+1f(x)= f(x)+L +x.1n!(n +1)!f(n+1)()x一x）n+1称为拉格朗日余项。其中，三介于。和x之间(n +1)!解，运用柯西中值定理
解 （3）带拉格朗日余项的泰勒定理： 泰勒定理： 阶导函数， 设函数 在包含 的开区间 内具有 ， 则对 ， 其中， 介于 和 之间， 运用柯西中值定理。 称为拉格朗日余项。 有
E-xo若令=E(0,1），则拉格朗日余项也常记作x-Xof(n+)(x, +0.(x -x,)(n+1)!另外，当x。=0 时，(0)(0x)-n+1f(x) = f(O)+ f'(O)x +Ln!(n +1)!称为麦克劳林公式，这里θε(0,1)
。 若令 ， 另外，当 时， 称为麦克劳林公式， 则拉格朗日余项也常记作 这里
演示：20151025蓝=n(1+++3)红蓝在=4的泰勒多项式n=1
演示：
（4）简单函数的麦克劳林展开式：x2eorx.n+1+L(a) e*=11!2!n!(n +1)!2tt2n-1cos Ox2n+1(b) sin x = -11+3!5!(2n-1(2n--10x4x2t2ncos 0x2n+2n+1(c) cos x =12!4!(2n +2)!(2n)!11(-1)"(-1)'2h+1(d) In(1 + x) =Y(n +1)(1 + 0x)n+ 23n
（4）简单函数的麦克劳林展开式： （a） ； （c） ； （b） ； （d） ；