定理1设函数f(x)在x的某一邻域U(x)内具有各阶 导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式的余项满足：limR,(x)=0. 1-→c0 正明：)-=立fr-尸，te n=0 n! a阳-含- k! f(x)=p,(x)+R,(x) imR(x)=imLf(x)-p(x]0() 10
证明: ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ! n n n f x f x x x x U x n ( ) ( ) ( ) n n f x p x R x lim ( ) lim ( ) ( ) n n n n R x f x p x 0 0 , ( ) x U x ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n k k n k f x p x x x k 令 0 0 ( ) ( ) ( 1 lim ) 0 ) ( ) ( . n n f x x U x f x R x x f 设函数 在 的某一邻域 内具有各阶 导数，则 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 的泰勒公式的余项满足： 定理
当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数. f)=f0+f0x+f0x++f0x+. 2! n! -2品/产0rs
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . ( ) 2 ( ) 0 0 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! 1 (0) ( ) ! n n n n n f f f x f f x x x n f x x U x n
二、函数展开成幂级数 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一 利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数x)展开幂级数的步骤 如下： 第一步求函数f(x)的各阶导数f'(x),f"(x).,fm(),., 如果在x=0处某导数不存在，就停止进行， 第二步求出函数及各阶导数在x=0的值 f'(0),f"(0),f"(0).,f0(0)
( ) ( ) ( ), ( ) , ( ), 0 n f x f x f x f n x 第一步 求函数 的各阶导数 ， 如果在 处某导数不存在，就停止进行. ( ) 0 (0), (0), (0), , (0), n x f f f f 第二步 求出函数及各阶导数在 的值 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数f(x)展开幂级数的步骤 如下： 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 二、函数展开成幂级数
第三步写出幂级数 f+f0x+0+.+0x+, 2! n! 并求出收敛半径 第四步利用余项R,(x)的表达式R(d)= ((x) (0<0<1),考察当x在区间(-R,R)内时余项R(x)的极限是否为 零，如果为零，则函数f(x)在区间(-R,R)内的幂级数展开式为 0+f0c+0r++f0r+ (-R<x<R), 2！ n！
( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 2! ! n n f f f f x x x n 第三步 写出幂级数 并求出收敛半径. ( 1) 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! (0 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) (0) (0) (0) (0) ( ) , 2! ! n n n n n n n R x R x f x x n x R R R x f x R R f f f f x x x R x R n 第四步 利用余项 的表达式 ,考察当 在区间 内时余项 的极限是否为 零，如果为零，则函数 在区间 内的幂级数展开式为