2、二圆外切于P，一圆在其上一点C的切线交另一圆于A、B。求证：PC是7APB的外角7BPE的角平分线。证明：DP是两圆的切线，故7A=7BPD，7DPC=7DCP,故7EPC=71+72=7BPC。3、两圆相交于两点A、B，在每一圆中各作一弦AC、AD使切于另一圆。求证：7ABC=7ABD。证明：AD是切线，故7BAD=7C=72，AC是切线，故7BAC=7D=71，故7ABC=7ABD=180°-71-72。4、AD=BC，E、F分别是AB和DC的中点，DA和FE交于H，CB和FE交于G。求证：7DHF=7CGF。B分析：一定要用到E、F是中点和AD=BC，作EM平行AD，MF平行BC，这样EM可以代替AD，MF可以代替BC，就用到AD-BC，E、F分别是AB和DC的中点。11证明：连接BD，作EM平行HD交BD于M，则EM=AD=BC=MF，故227MEF=7MFE=71,EM平行HD，故7DHF=7MEF=71.FM平行GC，故7CGF=7MFE=71，故7DHF=7CGF。11
11 2、二圆外切于 P，一圆在其上一点 C 的切线 交另一圆于 A、B。 求证：PC 是7 APB 的外角7 BPE 的角平分线。 证明：DP 是两圆的切线，故7 A= 7 BPD， 7 DPC= 7 DCP，故7 EPC= 7 1+ 7 2= 7 BPC。 3、两圆相交于两点 A、B，在每一圆中各作一弦 AC、AD 使切于另一圆。 求证：7 ABC= 7 ABD。 证明：AD 是切线，故7 BAD= 7 C= 7 2， AC 是切线，故7 BAC= 7 D= 7 1， 故7 ABC= 7 ABD= 180 0 - 7 1 - 7 2。 4、AD=BC，E、F 分别是 AB 和 DC 的中 点，DA 和 FE 交于 H，CB 和 FE 交于 G。 求证：7 DHF= 7 CGF。 分析：一定要用到 E、F 是中点和 AD=BC， 作 EM平行 AD，MF平行 BC，这样 EM 可以代替 AD，MF可以代替 BC，就用到 AD=BC， E、F 分别是 AB 和 DC 的中点。 证明： 连接 BD ，作 EM 平行 HD 交 BD 于 M ，则 EM= BC=MF ，故 7 MEF= 7 MFE= 7 1， EM 平行 HD，故7 DHF= 7 MEF= 7 1， FM 平行 GC，故7 CGF= 7 MFE= 7 1， 故7 DHF= 7 CGF
5、AD=BC，M、N分别是AC和BD的中点，求证：AD与MN的夹角和BC与MN的夹角相等。分析：一定要用到M、N是中点和AD-BC，作EN平行AD，作EM平行BC，这样EN可以代替AD、EM可以代替BC，也可以和MN围成三角形。CB证明：作EN平行AD，作EM平行BC，则EN=!AD-!-BC=EM,22故三角形EMN是等腰三角形，故 AD与MN的夹角和BC与MN的夹角相等。复习思考题、作业题：下次课预习要点教学后记12
12 5、AD=BC，M、N 分别是 AC 和 BD 的中点， 求证：AD 与 MN 的夹角和 BC 与 MN 的夹角相等。 分析：一定要用到 M、N 是中点和 AD=BC，作 EN 平行 AD，作 EM 平行 BC，这样 EN 可以代替 AD、EM 可以代替 BC，也可以和 MN 围成三角形。 证明：作 EN 平行 AD，作 EM 平行 BC，则 故三角形 EMN 是等腰三角形， 故 AD 与 MN 的夹角和 BC 与 MN 的夹角相等。 复习思考题、作业题： 下次课预习要点 学 记 教 后
第周授课时间课次第4次41.4和差倍分的证法和定值问题章节名称授课教学理论课（√）、实践课（）、习题题（）、其它（方式时数教学目的学会求线和角的和与差，学会求定值问题。要求教学讲解法、讨论法法方教学重点：通过延长或截取使得两条线段相等。点重难点：求定值问题。难点教学步骤及内容：1.4和差倍分的证法和定值问题1、已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，P为底边BC上任一点，PDIAB交AB于D，PE工AC交AC于E，CHIAB交AB 于H。求证：DP+PE=CH。-B证明：延长DP到M使PM=PE，AB=AC，故ZABC=LACB=/1，ZBDP=/CEP=90°，故ZBPD=LCPE=LCPM=Z2故△PCE和△PCM全等，故/PCM=ACB=/ABC=Z1，故AB//CM，显然HC//DM，故四边形是平行四边形，故DP+PM=CH，即DP+PE=CH。2、求证AB+BC=EF一般有两种：E(1)、延长AB到D使BD=BC，然后证明EF=AD;CA(2)、在EF上取 D使ED=AB然后证明DF=BC。B其实第一题也可以按照第二种做法去做。13
13 授课时间 第 4 周 课 次 第 4 次 节 称 章 名 1.4 和差倍分的证法和定值问题 课 式 授 方 理论课 ( √ )、实践课（ ）、习题题（ ）、其它 ( ) 教学 时数 2 教 目 要 学 的 求 学会求线和角的和与差，学会求定值问题。 学 法 教 方 讲解法、讨论法 教 重 难 学 点 点 重点：通过延长或截取使得两条线段相等。 难点：求定值问题。 教学步骤及内容： 1.4 和差倍分的证法和定值问题 1、已知ΔABC 是等腰三角形，AB=AC，P 为底边 BC 上任一点，PD丄 AB 交 AB 于 D，PE丄 AC 交 AC 于 E， CH丄AB 交 AB 于 H。 求证：DP+PE=CH。 证明：延长 DP 到 M 使 PM=PE，AB=AC，故 ABC= ACB= 1， BDP= CEP=90 0 ，故 BPD= CPE= CPM= 2， 故 ΔPCE 和 ΔPCM 全等，故 PCM= ACB= ABC= 1，故 AB∥CM，显然 HC∥DM， 故四边形是平行四边形，故 DP+PM=CH，即 DP+PE=CH。 2、求证 AB+BC=EF 一般有两种： (1)、延长 AB 到 D 使 BD=BC，然后证明 EF=AD； (2)、在 EF 上取 D 使 ED=AB 然后证明 DF=BC。 其实第一题也可以按照第二种做法去做
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3、等边三角形外接圆上任一点的连线中，最长的线是其余两边之和。P是等边三角形ABC的外接圆任一点求证：AP=BP+CP。证明：延长BP到D，使PD-PC，则在△BCD和△ACP中,BC=CA，ZCBP=LCAP，注意ZAPB=LAPC=Z60°,故ZDPC=60°，由于PD=PC，故△APCD也是等边三角形，故ZPCD=/60°，故ZBCD=ZACP=/60°，故△BCD和△ACP全等，故AP=BD，故AP=BP+CP。4、H是三角形ABC的垂心，O是外心，OL工BC交BC于L。求证：AH=2OL。证明：设P、Q是AH和BH的中点，设M是AC的中点，O是外心，OL工BC，故L也是BC中点，故2PQ和2ML都平行且相等于AB，故PQ和ML平行且相等。又AH、OL都垂直AH于BC，故AH//OL，同理，QH//OM，故△HQP三△OML，故OL=HP=2HF5、E为正方形ABCD中AD的中点，ADF是ED的中点。求证：2/ABE=ZCBF。证明：作ZCBF的角平分线BPH交AD-于H，则ZCBP=ZPBF=PHD,下证△AEB三△CPB，不妨设AB=1，95FH=BF=，故DH=1，故P是CD的中点，故△AEB三ACPB，164故ZABE=ZCBP，故2ZABE=ZCBF。15
15 3、等边三角形外接圆上任一点的连线中，最长的线是其余两边之和。 P 是等边三角形 ABC 的外接圆任一点. 求证：AP=BP+CP。 证明：延长 BP 到 D，使 PD=PC，则在ΔBCD和ΔACP 中， BC=CA， CBP= CAP，注意 APB= APC= 60 0， 故 DPC= 60 0 ，由于 PD=PC，故ΔPCD 也是等边三角 形，故 PCD= 60 0 ，故 BCD= ACP= 60 0 ，故ΔBCD 和ΔACP 全等， 故 AP=BD，故 AP=BP+CP。 4、 H 是三角形 ABC 的垂心，O 是外心，OL丄 BC 交 BC 于 L。 求证：AH=2OL。 证明：设 P、Q 是 AH 和 BH 的中点，设 M 是 AC 的中点，O 是外心，OL丄 BC，故 L 也是 BC 中点，故 2PQ 和 2ML 都平行且相等于 AB， 故 PQ 和 ML 平行且相等。又 AH、OL 都垂直 于 BC，故 AH∥OL，同理，QH∥OM，故ΔHQP三 ΔOML ，故 OL=HP= 。 5、E 为正方形 ABCD 中 AD 的中点， F 是 ED 的中点。 求证：2 ABE= CBF。 证明：作 CBF 的角平分线 BPH 交 AD 于 H，则 CBP= PBF=PHD， 下证 ΔAEB三 ΔCPB ，不妨设 AB=1， FH=BF= ，故 DH=1，故 P 是 CD 的中点，故ΔAEB三 ΔCPB， 故 ABE= CBP，故 2 ABE= CBF