11: 109 .85.1孤立奇点定义5.3设函数（)在无穷远点的邻域R<<十x（相当于1有限点的去心邻域）内为解析，则无穷远点就称为（）的孤立奇点在R<+内，）有洛朗级数展开式：1F(2) =C(R<IzI+ ),(5.4)1其中1fds (p >R; n = 0. ± 1, + 2.).1fC.-2元i f...g"11，按照R>0或R=0.我们得到在01m今二或R10<w<+内解析的函数w）(）.由于w)在0没有定1义，故w=0是的孤立奇点将）在0<<方展开为洛朗级数Tp(w)= b,w"然后再用w=二代人等式,得到f() b (R<1l).将此式与（5.4)相对照，由洛朗级数展开的惟一性，知必有C=b-nn0,±1.±2,).利用倒数变换将无穷远点变为坐标原点，这是我们处理无穷远点作为孤立奇点的方法.它也具有更广泛的意义（如在共形映射中也可这样处理）.下面，我们进一步分别根据w一0是函数（w）的可去奇点、m阶极点或本性奇点定义一是函数f（z）的可去奇点、m阶极点或本性奇点.这样，（1）在（5.4）式中，如果当n=1，2，3，时，C,=0，那么之一是函数f（）的可去奇点，（2）在（5.4）式中，如果只有有限个（至少一个）整数n>0，使得C≠0，那么之=x是丽数f（z）的极点.设对于正整数m，Cm七0；而当
第五章留数及其应110.n>m时，C=0,那么=cx是f（z）的（m阶）极点（3）在（5.4）式中，如果有无穷个整数">0，使得C，≠0，那么之=X是函数f（z）的本性奇点.结果，与有限点的情形相反，无穷远点作为函数的孤立奇点时，它的分类是以函数在无穷远点邻域的洛朗展开中正次幂的系数取零值的多少作为依据的正因为这样.对于洛朗展开式（5.4），我们称ZC为解析部分，而称-为主要部分.定理5.1至定理5.3都可立即转移到无穷远点的情形.如我们有定理5.6设函数（）在区域R<1|~十（R=0）内解析，那么之一是（2）的可去奇点、极点或本性奇点的充分必要条件是：存在着有限、无穷极限limf（z）或不存在有限或无穷的极限limf（）之例5.10函数是否以=x为孤立奇点？若是，属于哪一类？1+名函数，至。在全平面除去i及αi的区域内为解析，故解百1+2它在无穷远点的邻域1<|2<十α×为解析.之一是它的孤立奇点.又因为lim31+0所以一是它的可去奇点，例5.11函数1+22+3+42是否以z=×为孤立奇点？若是，属于哪一类？解函数1+2十322十4z3在全平面解析.这个式子本身也就是这个函数在无穷远点的邻域十的洛朗展开，所以之二是函数1+22+322+4z
85.2留数111的孤立奇点且为3阶极点例5.12函数e是否以z=×为孤立奇点？若是，属于哪一类？解函数在全平面解析，故=x是它的孤立奇点，又当-x时.e"没有任何极限，故&一x是e"的本性奇点，我们也可以从的泰勒展开来看，出于++*+…(<+)21n!这个展开式恰巧就是在无穷远点邻域的洛朗展开.因它含有无限多个正次幂项，故z=x是e的本性奇点一是否以?=为孤立奇点？例 5.13函数sin:，在全平面除sin的零点以外为解析.但sin的零解P丽数sin:1的极点.且在扩充复平点是一元（k=0，士1，±2，*.），它们都是11i面上，序列（）以一α为聚点，因此，=不是函数一的孤立奇S10点.$5.2留数留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系，85.2.1留数的概念及留数定理当f（）在简单闭曲线C上及其内部解析时，由柯西积分定理知 (z)d = 0.f(z)d若上述C的内部存在函数（)的孤立奇点z，则积分
·112 *第五章留数及其应甲一般不等于零.然而由洛朗展开式知，取洛朗系数中n=一1可得I $f(z)dz.2元因而积分f(）d=2元iC:这说明（z）在孤立奇点处的洛朗展开式中负一·次幂项的系数C-,在研究函数的积分中与有特别重要的地位定义5.4设2是解析函数（）的孤立奇点，我们把f（）在之处的洛朗展开式中负一次幂项的系数称为」（）在处的留数，记作Res[f(2),z],即Reslf(z),2]- C.显然，留数（，就是积分1f(z)d22元i的值，其中C为解析函数f(z)的2。的去心邻域内绕z。的闭曲线例5.14求e在孤立奇点0处的留数解由于在0<[<十α内，1+1e=+1+3122212所以宣Res[zel, O] --211例 5. 15 求cos一在孤立奇点0处的留数，解由于在0<1z<+8内11+11"cos+(1)"(2n)1z2 2 +..21+41222缺负一次幂，即该项系数为零，所以Res[2*cos ↓, 0] = 0.A