一、几个基本概念及相互关系与计算当(a,y)± (0,0)时,1112fi(a,y):2tsincOS+y?+y?2222α? + y?Ty当(α,y)= (0,0)时,10(Aa)f(o + △α,0) - f(0,0)1limlimlim(Aa)sir0AaAa(Aa)Aa-→0Aa-0Aa→0112a2asin,y) ± (0,0),cOS22y心yAY0,(α,y) = (0,0).3112x0limcossinxR0TXJRO
一、几个基本概念及相互关系与计算
、几个基本概念及相互关系与计算全微分与可微性的判定函数f(x,y）在点（x,y)可微，则函数必在该点连续定理(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则函数在该点的偏导数az az器必存在，且dz-Dx+Dy=dx+dax'ayqxxyqyozoz在点(x,y)连续，则函数在该定理(充分条件)如果z = f(x,y)的偏导数axay点处可微分二元函数z=f(x,y)可微4z = f(x + 4x,y+4y) - f(x,y)= fi(x,y)4x + f(x,y)4y + o (/(4x)2 + (4y)2
一、几个基本概念及相互关系与计算 4、全微分与可微性的判定 l 定理(必要条件) 点处可微分. l 定理(充分条件) 必存在，且
一、几个基本概念及相互关系与计算Az-f( o,y)Aa- f,(c oo)Ay判定函数可微的一般步骤：limA20(a)" +(A)"（1）判定函数在该点偏导数存在；Ay→0(2）计算偏导数值；1lim=04z - fx(x,y)4x - fi(x,y)4yA2→0(3)判定 limAy-→04x-→0)+(Ay)(Aa) +(Ag)/(4x)2 + (4y)24y→0+°>~在(0,0)处的可微性例 判断f(α,y) =0,α2 +y?=0f'(0, 0) = 0 = f;(0,0),△z = f(c, y) - f(0,0) = e【提示]:所以函数f(a,y)原点(o,0)处可微
一、几个基本概念及相互关系与计算 判定函数可微的一般步骤： (1) 判定函数在该点偏导数存在； (2) 计算偏导数值； (3) 判定 = ᵼ？
一、几个基本概念及相互关系与计算5、方向导数与梯度f(xo + tcosa,yo +tcosβ)-f(xo,yo)存在，则称极限值为定义如果极限limtt-01并且记作函数z=f(xy)在点(xo,yo)沿方向u(u:eu=（cosα,cosβ）)的方向导数I(ro+t cosa,.o+ cosb)- (ojo)= Df(coo)=limU[(xo,yo)1R0+(af af)梯度: gradf(x,y)=Vf(x,y):ax'ayaf af afgradf(x, y,z) = vf(x,y,z)dx'dy'z
一、几个基本概念及相互关系与计算 定义 如果极限 5、方向导数与梯度 梯度： 存在，则称极限值为