一、几个基本概念及相互关系与计算f(x,y)当(x,y) →(xo,yo)时的极限： limf(x,y) 9 ay-→yo[注) (x,y) → (xo,yo) = (x, y) → (0, 0):x-xo=ulimf(x,y) =limf(x,y) 令x-xoy-yo=Vy-yoy-yo→o= limf(u + xo, v + yo) = limg(u, v) = limg(x,y)1-V-→0-0y~0特殊路径法：当点(x,V)以不同方式趋于（00)时函数g（x，y）趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数当(x,y）→(0,0)时极限不存在
一、几个基本概念及相互关系与计算
一、几个基本概念及相互关系与计算判断二元函数极限不存在的方法令x=pcos,y=psine，转换为单变量的极限问题极坐标法limf(x,y）=limf(pcoso,psinの）可以取任意值！-→y-0极限不存在极限为的表达式简化的极限式分母为e,的表达式r2cosqsinqlimlimr@ot ,*cos°g+ sin'q r = sin"q(@@ 0t,a >0)xB0JROcos' qsin2u.limsin4a-2q cosq + 1q@otr=sin"q
一、几个基本概念及相互关系与计算 判断二元函数极限不存在的方法 l 极坐标法 转换为单变量的极限问题 l 极限不存在
一、几个基本概念及相互关系与计算1-xy例求极限m0x2+2令x=pcoso,y=psing,y→11-xy1 - x(y+ 1)pcoso(psino + 1) +1lim=1.limlimx-0 x2 + y2x=0 x2 + (y + 1)22psin +p2 + 1p-0y-→1y-0点为(0,1)点为函数f(x,)=定义区域内的连续点:x2+v1-0.11-xylim x2 + y2= 1.02 + 12y→1
一、几个基本概念及相互关系与计算 例 求极限 = 1
一、几个基本概念及相互关系与计算2、二元函数连续性的判定如果函数在(xo,yo)某一邻域内有定义，并且有,limf(x,y）=f(xo,yo）y-yo则称函数f(x,y)在(xo,yo)处连续函数f(x,y)在(xo,yo)处连续：极限不仅存在而且等于f(xo,yo）多元初等函数在定义区域内是连续函数
一、几个基本概念及相互关系与计算 2、二元函数连续性的判定 并且有 多元初等函数在定义区域内是连续函数
一、几个基本概念及相互关系与计算3、二元函数偏导数与偏导函数的连续性分段二元函数在分段点、抽象函数偏导数存在性的讨论和偏导数的计算：f(x + 4x,y) - f(x,y)= fx(x, y)fl(x, y) =lim4x4x-→0f(x,y + 4y) -f(x,y)lim= ff(x,y)fy(x,y) =4y4y→0初等函数的偏导数仍然是初等函数，所以在定义区域内偏导函数仍然是连续函数?,(x,y)1 (0, 0),=0.(x,y)= (0, 0)
一、几个基本概念及相互关系与计算 3、二元函数偏导数与偏导函数的连续性 分段二元函数在分段点、抽象函数偏导数存在性的讨论和偏导数的计算： 初等函数的偏导数仍然是初等函数，所以在定义区域内偏导函数仍然是连续函数