可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明:任取ⅹ∈Ffa]则fx)>a,由连续性假设知, 对E=f(x)-a,36,>0,使得f(Oa,EcO((a+0) 围O∩ECEl 令G=∪O E ,O) 则G为开集,当然为可测集,且 GnE=CU OO.nE=U(Ox.5. ECE Lf>a 反之EpC( O6.)E=G∩E x∈E Tf>al 故E [∫>a G∩E为可测集
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 故E[ f a] = G E为可测集 ( ) , 0, ( ) ( , ) = f x − a x f O( x, ) E O( f ( x), ) a + x 对 使得 ( , ) [ ] x 即O E E x f a 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知， ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a [ ] ( , ) x f a x x E G O 令 = [ ] [ ] ( , ) ( , ) [ ] ( ) ( ) x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E 另外 = = 则G为开集，当然为可测集，且 [ ] [ ] ( , ) ( ) x f a f a x x E E O E G E 反之所以 =
(4)R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明:不妨设f单调增,对任意a∈R 令Ln=in(x(x)>a 由单调增知下面的集合为可测集 E∩[la,+∞)当a∈{xf(x)>a} [/>a]-E∩(la,+∞)当la{xf(x)>a} a XI X
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 a I a x1 x2 [ , ) { | ( ) } [ ] ( , ) { | ( ) } { E I I x f x a f a E I I x f x a a a a a E + = + 当 当 由f单调增知下面的集合为可测集 I inf{ x | f (x) a} 令 a = 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
3可测函数的等价描述 1.定义:设fx)是可测集E上的实函数,则 fx)在E上可测(即()a∈R,Ea可测 →(2)Va∈R,E 3[f2a 可测 (3)Va∈R,E1a可测 (4)va∈R,E1a可测 (5)Va.b∈Ra<b,En/可测充分性要求|f(x)k+) 证明:利用(1)与(4),(2)与(3)互为余集,以及 E ∪丿E E ∪丿E Lf>al )∪E n=1[f≥a+-1 [f≥a] a≤f<a+n f=+∞ Eu E n=1[f>a-- E1as≤b1=Fra⌒Ersb1
⒊可测函数的等价描述 (2) a R,E[ f a] 可测 (3) a R,E[ f a] 可测 (4) a R,E[ f a] 可测[ ] (5) , , , ( | ( ) | ) a f b a b R a b E f x + 可测 充分性要求 证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 1 [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] ( ) f a f a a f a n f n n f a n f a a f b f a f b n f a n E E E E E E E E E E + =+ = = + = − = = = = ( (1) , ) 即 a R E[ f a] 可测 ⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测