在运算时,可以采用与第一类换元积分法方向相反的步骤: f(r)dx=I f(o(()do(0)= f(o(t )o'(o)dt =F(t)+C=F((x)+C。 这个方法称为第二类换元积分法
在运算时，可以采用与第一类换元积分法方向相反的步骤： f ( ) x x ∫ d = f ( ( )) ) ϕ ϕ t t( = ∫ d f ( ( )) ) ϕ ϕ t tt ′( ∫ d = F( )t C+ = + CxF − ))(( ~ 1 ϕ 。 这个方法称为第二类换元积分法
例627求∫ 解为了去掉根号,令x=0()= a sin t(-“≤1≤),于是 a-x=acost, dx= a cos tdt a2x2 dx (1+cos 2t). 2 sin 2t +c (用t=q(x)= arc sin-代回) x x√a2-x2+ arc sin-+C
例 6.2.7 求 2 2 a xx − ∫ d 。 解 为了去掉根号，令 x tat = ϕ( ) sin = π π ( ) 2 2 − ≤≤t ，于是 2 2 ax a t − = cos ，d cos d x = a tt ， 22 2 2 a x x a tt − = cos ∫ ∫ d d 2 (1 cos 2 ) 2a = + t t ∫ d C t t a ⎟ +⎠⎞ ⎜⎝⎛ += 22sin 22 （用t x xa = = − ϕ 1 ( ) arcsin 代回） = −+ 1 2 2 2 xa x a x a C 2 2 arcsin +
例628求∫ 和 x +a 解对于∫,令x=0()=as,其中1的变化范围可以这 样确定:当x>a时,1∈(0x);当x<-a时,1∈(3。于是 a tant, dx= atan sect dt, sectdt=In sect +tan t+C 用set=x和tan=ec2-1=Yx-代回,由于C-lna仍然是一个任 意常数,因此 x+yx-a +C In x+vx2-a2 HIna+C +C
例 6.2.8 求 2 2 x x a − ∫ d 和 2 2 x x a + ∫ d 。 解 对于 2 2 x x a − ∫ d ，令x tat = ϕ( ) sec = ，其中t的变化范围可以这 样确定：当x a > 时， π 0, 2 t ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠；当x a < − 时， 3 π, π 2 t ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。于是 2 2 xa a t − = tan ，d d x a t tt = tan sec ， 2 2 x x a − ∫ d = sect t ∫ d = + |tansec|ln + Ctt 。 用 a x sect = 和 a ax tt 22 2 1sectan − =−= 代回，由于 − ln aC 仍然是一个任 意常数，因此 2 2 x x a − ∫ d C a axx + −+ = 22 ln |ln ln| +−−+= Caaxx 22 = +−+ ln | x xa C | 2 2
类似地可求得 x x+√x2+a21|+C x +a 若被积函数中含有诸如√a2-x2,√x2-a2,√x2+a2这样形式的 根式,可以分别考虑将变换取为x= a sin t,x= a sec t和x=atan以化去 根号
类似地可求得 2 2 x x a + ∫ d = +++ ln | x xa C | 2 2 。 若被积函数中含有诸如 a x 2 2 − ， x a 2 2 − ， x a 2 2 + 这样形式的 根式，可以分别考虑将变换取为x a = sin t ，x a = sec t 和 = ax tant 以化去 根号