例623求∫ tan xdx 解∫ tan xdx=∫ sInx dx (cos x)'d (作变量代换u=cosx) COS X COSx du 用 u= COSx 代回) COSX I+C 等熟练之后,只要将代换u=g(x)默记在心,就可以直接写出 sInx tan xdx=c d(cos x) In cos x|+C。 COSX cOSX
例 6.2.3 求 tan x x ∫ d 。 解 tan x x ∫ d sin cos x x x = ∫ d (cos ) cosx x x′ = −∫ d （作变量代换u x = cos ） u u = −∫ d = − ln | | u C+ （用u x = cos 代回） = − ln |cos | x C+ 。 等熟练之后，只要将代换u gx = ( )默记在心，就可以直接写出 tan x x ∫ d sin cos x x x = ∫ d (cos ) cos xx = −∫ d = − ln |cos | x C+
例6.24求∫ sec xdx 解 cOSX d(sin x) COSx cOS x 1-sin'x 作变量代换nm3,并利用∫x4=2m++c,得到 1+sin x secxdx= +C=iIn(+sin x) sInx sIn x l sinic=In secx+tanx+c COSX 可以类似地求出 cot xdx = In sin x+C 和 cSc xdx= In cscx-cotx +C
例 6.2.4 求 sec x x ∫ d 。 解 sec x x ∫ d 2 1 cos cos cos x x x x x = = ∫ ∫ d d 2 (sin ) 1 sinxx = − ∫ d , 作变量代换u x = sin ，并利用 2 2 x x a − ∫ d C ax ax a + +− = ln 21 ，得到 sec x x ∫ d C xx C xx + −+ =+ −+ = 2 2 sin1 )sin1( ln 21 sin1 sin1 ln 21 CxxC x x ++=+ + = |tansec|ln cos sin1 ln 。 可以类似地求出 cot x x ∫ d = ln |sin | x C+ 和 csc x x ∫ d = − |cotcsc|ln + Cxx
例625求∫ √x(1+x 解「 d(yx)=2 arctan+C。 √x(1+x)11+(√x
例 6.2.5 求 (1 ) x x x + ∫ d 。 解 2 1 2 ( ) 2arctan (1 ) 1 ( ) x x xC xx x = = + + + ∫ ∫ d d
例625求∫ x(1+ 解 d(yx)=2 arctan√x+C。 (1+x)11+(x 例6.2.6求∫ nmx cos ndx(m≠n) 解∫ sin mx cos ndx=,jms( m-n)x]dx cos(m+n)x cos(m-n)x +c m+n m-n 可以类似地求出∫ sin rdx和 cosme cosnxdx
例 6.2.6 求 sin cos mx nx x ∫ d ( ≠ nm )。 解 sin cos mx nx x ∫ d 1 [sin( ) sin( ) ] 2 = ++ − m nx m nx x ∫ d C nm xnm nm xnm +⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −− + ++ −= )cos()cos( 21 。 可以类似地求出 sin sin mx nx x ∫ d 和 cos cos mx nx x ∫ d 。 例 6.2.5 求 (1 ) x x x + ∫ d 。 解 2 1 2 ( ) 2arctan (1 ) 1 ( ) x x xC xx x = = + + + ∫ ∫ d d
(2)第二类换元积分法 若不定积分(xx不能直接求出,但能够找到一个适当的变量代 换x=0(1)(要求x=(1)的反函数t=g-(x)存在),将原式化为 f(x)dx=f(()do(1)=f(9()y()dt, 而f(()0()的原函数F()是容易求的。 因为 F(o(x)=F(x=/(0(0 f(o()o(t) f(o(t)=f(x) p(t) 所以 ∫f(x)dx=F(2(x)+C
⑵ 第二类换元积分法 若不定积分 fx x ( ) ∫ d 不能直接求出，但能够找到一个适当的变量代 换 = ϕ tx )( （要求 = ϕ tx )( 的反函数 )(1 xt − = ϕ 存在），将原式化为 fx x ( ) ∫ d = ft t ( ( )) ) ϕ ϕ( = ∫ d f t tt ( ( )) ) ϕ ϕ′( ∫ d ， 而 ϕ ϕ′(ttf )))(( 的原函数 ~F t( )是容易求的。 因为 1 F( ( )) x x ϕ − d d = ( ) t F t x ′ d d = ( ( )) ( ) t ft t x ϕ ϕ′ dd = )( 1 )())(( t ttf ϕ ϕϕ ′ ′ = ϕ = xftf )())(( ， 所以 fx x ( ) = ∫ d + CxF − ))(( ~ 1 ϕ