第之节 第一章 极浪存在准则及 两个重要极限 极限存在准则 二、两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
准则 (1)yn≤xm≤2n(n=1,2,.) lim Xn a (2)lim yn lim zn a n->o0 n->o0 n→0 证：由条件(2)，V8>0,3N1,N2, 当n>N1时，yn-a<e 当n>N2时，2n-a<8 令N=max{N,N2},则当n>V时，有 a-8<yn<a+:,a-8<Zn<a+8, 由条件(1) a-&<yn≤xn≤2n<a+E 即xm-a<e，,故limn=a. n->c0 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y zn a n n n = = → → (2) lim lim 准则I (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n xn a n = → lim 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数极限存在的夹逼准则 准则1 当xeU(xo,6)时，g(x)≤f(x)≤hx), (x>X>0) 且 lim g(x)=lim h(x)=4 x→Xo X→X0 (x→0) (x→∞) lim f(x)=4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
函数极限存在的夹逼准则 准则I′ ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sin x 重要极限lim =1 x>0 X 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 2sinx<】x<tanx 故有 x< sinx cosx (0<x<) sinx 显然有 COS X< 1 (0<x<) X ~lim cosx=1,注 sinx lim =1 x-→0 →0 等HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 重要极限
例1.求lim tan x x>0 解： lim tan x lim sinx 1 x→0 x-→0 x COSX nx lim- lim-=1 x→0X x-→0C0Sx 例2.求1im arcsin x x-→0 X 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 原式=lim t lim =1 t->0 sint t→0 sint HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例2. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束