第五节 第二章 离教的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 HIGH EDUCATION PRESS
二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章
一、 微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由x变到x。+Dx,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,A=x2,当x在取 得髫量Dx时，面积的增量为 DA=(0+Dx)2-x2 XoDx Dx 2xoDx+(Dx) 关于△x的 Dx®O时为 xo A=话 线性主部 高阶无穷小 故 DA》2xDx 称为函数在xo的微分 HIGH EDUCATION PRESS 结
一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 边长由 变到 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：若函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 Dy=f(xo +Dx)-f(xo)=ADx+o(Dx) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微，而ADr称为f(x)在 点x的微分，记作dy或df,即 dy=ADx 定理：函数y=f(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=fx),即 dy=ffxo)Dx HIGH EDUCATION PRESS 结球
的微分, 定义: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理：函数y=(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=f4xo),即 dy fxo)Dx 证：“必要性” 已知y=f(x)在点x可微，则 Dy=f(xo +Dx)-f(xo)=4Dx+o(Dx) 4+- Dx®ODx D®O 故y=f(x)在点x的可导，且f4xo)=A HIGH EDUCATION PRESS
定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理：函数y=f(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点x,处可导，且A=f4x),即 dy=fxo)Dx “充分性 已知y=f(x)在点x的可导，则 99 lim Dy=faxo) Dx®ODX Dy=fAxo)+a（ lim a =0) D Dx®O 故 Dy=fx)Dx+aDx=1oDe) 线性主部 (f4xo)'0时) 即dy=fxo)Dx HIGH EDUCATION PRESS 结球
定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性 ” 已知 即 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束