第一章 第二节 教列的教限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限
一、数列极限的定义 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作x,=f(n) 或{xn}.xn称为通项（一般项） 若数列{xn}及常数a有下列关系 Ve>0,3正数N,当n>N时，总有 xn-a<8 则称该数列{x,m}的极限为a,记作 lim=a或xn→a(n-→∞） n-→o0 此时也称数列收敛，否则称数列发散 几何解释： a-8 Xn+ a XN+2 a+8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 、数列极限的定义
例1.已知x, n+-l)” 证明数列{x,m}的极限为1 n Ve>0,欲使xn-1<c,即<8，只要n> 因此，取N=力，则当n>N时就有 n+-lY-】 故 lim=lim n+(-1”= n-→00 n-→∞ n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: xn −1 = 1 ( 1) − + − n n n 0 , 欲使 即 只要 1 n 因此 , 取 ], 1 [ N = 则当 n N 时, 就有 − + − 1 ( 1) n n n 故 1 ( 1) lim lim = + − = → → n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.已知x,= (-1)” (n+1)2 证明1imxn=0, n→00 证：xn-0= -小 Ve∈(0,1)，欲使xn-0<,只要1 <,即n> n+1 取N=后-，则当n>N时，就有k,-0<6, 故 lim=lim n->o0 n-→(n+1)2 0 也可由 x-0F 说明：N与有关，但不唯一 取 N=【e-1] 不一定取最小的N HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束
例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1 N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 1 1 = − N 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设9<1，证明等比数列 1,92,.,91, 的极限为0· 证：x-0=g”1-0=9m 8∈(0,1)，欲使xn-0<6,只要g1<8,即 (n-1)lmq<ln6,亦即n>1+ Ing In g 因此取N-+】则当N前南 q-0< 故 1img-1=0 n-→o0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束