第九节 第一章 连续盈数的运算与 初等西数的连犊性 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 结
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例1，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例2，y=sinx在[号，号]上连续单调递增， 其反函数y=arcsinx在[一1,1]上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 自 结
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例1, 例2, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减 ) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如，y=ex在(-￥，+￥)上连续单调递增， 其反函数y=lnx在(0，+￥)上也连续单调递增 定理3.设函数y=f几g(x)]由函数W=g(x) 与函数y=f(u)复合而成，U(x,)iD·若 1img(x)=4。,而函数y=f()在u=4,连续 x®x0 则 lim f[g(x】=limf(u)=f(u。) xR XO 证：参考第五节定理6 HIGH EDUCATION PRESS
定理3. 设函数 证: 参考第五节定理6 则 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由函数 与函数 复合而成， 而函数 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如
定理4.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=f(x)在点x。连续，且f(xo)=40 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(o) 于是 lim f(x)]=lim f(u)=f(uo)=f(o)] x®x0 故复合函数ff(x)]在点x。连续 HIGH EDUCATION PRESS 08 球
定理4. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4，y=sn是由连续函数链 y=sinu,uI(e￥，+￥）〉 xi R" 复合而成，因此y=sn二在xiR*上连续 HIGH EDUCATION PRESS
例4, 是由连续函数链 复合而成 因此 在 上连续 . , 机动 目录 上页 下页 返回 结束