第一章 第五为 极限运算法则 无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、 无穷小运算法则 定理1.两（有限）个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1ima=0,1im阝=0， x→xg Ve>0,81>0,当0<x-x0<⊙时，有a<号 382>0,当0<x-x<δ2时，有p<号 取6=min{6,d2,则当0<x-xokδ时，有 &+B≤a+|B<号+号=8 因此 1im(a+)=0. x→x0 这说明当x→x,时，u+阝为无穷小量 HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 两(有限)个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,61),u≤M 又设limx=0,即Ve>0,382>0,当x∈U(xo,δ2) x->Xo 时，有a< 取δ=min{δ，62}，则当x∈U(xo,δ)时，就有 ucx=uax<M.号=8 故lim ua=0,即ua是x→xo时的无穷小 x-→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u M M = 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求lim sinx x→>00 sin x 17 解：sinx≤1 lim =0 x→0X sinx 利用定理2可知1im =0 x-→00 sinx 说明：y=0是y= 的渐近线 HIGH EDUCATION PRESS D 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、极限的四则运算法则 定理3(1).若limf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,1img(x)=B,则有 f(x)=A+@&,8(x)=B+B (其中a,B为无穷小 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A±B)+(C±B) 由定理1可知±也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3(1) . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束