第三节 第三章 泰勃(Taylor)公式 理论分析 用多项式近似表示函数一应用 近似计算 一、 泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 等HIGH EDUCATION PRESS
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式： f(x)》f(x)+fx)x-x) v=f(x P(x) x的一次多项式 特点：p(xo)=f(x) Xo x pA(xo)=fdxo) 以直代曲 如何提高精度？ 需要解决的问题 如何估计误差？ HIGH EDUCATION PRESS 结球
特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
求n次近似多项式Pn(x),要求 Pn(0)=fo),P(=0,L,p()=fm() 令 Pn(x)=ao+al(x-xo)+az(x-xo)2+L +an(x-xo) 则 p9(x)= a+2a2(x-x)+L +na,(x-xo)"-I p(x)= 21a2+L +n(n-D)a,(x-xo)"-2 LLLL P0(x)= nlan ao =Pn(xo)=f(xo), 41=p(x0)=f4xo) =Po尸克/).L,a=P(0)=fm(）》 故Pn(x=f(x)+∫xox-xo)+}fxox-xo》2+L +是/)(ox-0” HIGH EDUCATION PRESS
求 n 次近似多项式 要求 : 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则
泰勒中值定理1： 若f(x)在x,处有阶导数 那么存在x。的一个邻域，当X属于该邻域时，有 四=fG+f,X-）+/o2x-P+L 2 +Coc-x”+Rx) n! 其中R(x)=o《（x-x)) 公式①称为带佩亚诺Peano)余项的n阶泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 结
泰勒中值定理1 : 那么存在 属于该邻域时, 有 其中 的一个邻域，当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 ① 公式 ① 称为带佩亚诺(Peano) 余项的n 阶泰勒公式
证：记Rn(x)=f(x)-Pn(x),则有 R,(xo)=R(xo)=L =Rc(o)=0 由洛法则必达 lim R,(x) 国6(x-x” R.(x) Rx) lim- lim ®6n(x-x,)” @6n(n-10(x-x,)- -1 lim 2=im ()-R-() nlx®w(x-x) nlx®xo (x-x) 1R以x)=o(x-x)” HIGH EDUCATION PRESS 回
证： 记 , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由洛法则必达