单调区间求法问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的但在各个部分区间上单调定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。方法：用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号
单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x
y例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解 : D:(-00,+00).0.51.522.521f'(x) = 6x2 - 18x +12 = 6(x - 1)(x - 2)解方程f(x)=0得， x, =1,x,=2.当-0<x<1时，f(x)>0，：在(-80,1]上单调增加;当1<x<2时，f(x)<0，:在[1,2]上单调减少;当2<x<+oo时，f(x)>0，：在[2,+o0)上单调增加;单调区间为(-8,1],[1,2],[2,+)
例2 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数 f(x)=/x2的单调区间解 D :(-0,+o0).22.5f'(x) =(x± 0)J=3x23/当x=0时，导数不存在当-80<x<0时，f'(x)<0,在(-8,0上单调减少;当0<x<+o时，f'(x)>0，：在[0,+)上单调增加;单调区间为(-80,0],[0,+0)
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性例如，J=x3，|x=0 =0，但在(-80,+)上单调增加例4 当x>0时,试证x>In(1 +x)成立.X证 设f(x)=x-ln(1+x), 则 f'(x)=1+x：f(x)在[0,+8)上连续,且(0,+)可导，f'(x)>0,:在[0,+8)上单调增加；：f(0)=0,:. 当x>0时，x-In(1+x)>0,即 x >In(1+x)
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加
二、函数的极值Vy=f(x)xax oxxxx bXyZXo00Xoxx
二、函数的极值 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x