由行列式性质可知,在A中当所有r+1阶 子式全等于零时,所有高于r+1阶的子式也全 等于零,因此A的秩R(4)就是A中不等于零的 子式的最高阶数。 由矩阵秩的定义可知,矩阵与它的转置矩 阵的秩是相等的 定理:若A~B,则R()=R(B) 证:先证明:若A经过一次行的初等变换变为B 则R(A)≤R(B) 设R(4)=r,且A的某个r阶子式D≠0
由行列式性质可知，在 A中当所有r＋1阶 子式全等于零时，所有高于r＋1阶的子式也全 等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的 子式的最高阶数。 由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩 阵的秩是相等的。 定理：若A～B ，则R(A)= R(B) 证：先证明：若A经过一次行的初等变换变为B， 则 R(A)≤ R(B) 设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式 Dr 0
:e>r 当A~B或A~酬时,在B中总能找到与D相 对应的子式B,由于D=B或D=-B或B=kD, 因此B≠0,从而R(B)≥r 当A~时,分三种情况来讨论: (1)D不含第i行,B=D (2)D既含第i行,也含第j行,这时,B=D; (3)D只含第i行,不含第j行,这时 D B tk
(1) (2) (3) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... i j r kr r r r r r r r r il r il jl D i B D D i j B D D i j D a B a ka + = = = = + 当A ~ B时，分三种情况来讨论： 不含第 行， ； 既含第 行，也含第 行，这时， ； 只含第 行，不含第 行，这时 ，在B中总能找到与Dr相 对应的子式Br，由于Dr= Br或Dr= －Br或Br= kDr， 因此Br≠0，从而R(B)≥r。 i j i r r r k 当A ~ B A ~ B 或 时
B=D+kD,若D′=0,则B.=D;若D′≠0 则因D中不含第i行可知4中有不含第i行的 r阶非零子式,由(1)可知R(B)≥r 以上证明了A经过一次行初等变换变为B 时,有R(A)R(B)由于B也可经过一次行初等 变换变为A,那么同样有R(A)≥R(B)所以有 R(A=R(B 经一次行初等变换矩阵的秩不变,即可知 经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变
0 0 R( ) r r r r r r r r B D kD D B D D D i i r r = + = = A B ，若 ，则 ；若 ， 则因 中不含第 行可知 中有不含第 行的 阶非零子式，由(1)可知 以上证明了A经过一次行初等变换变为 B 时，有R(A)≤R(B).由于B也可经过一次行初等 变换变为A，那么同样有R(A)≥R(B).所以有 R(A)＝R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知 经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变
设A经过列的初等变换变这B,那么,AT 经过行的初等变换变为BT,由上面的讨论可 知,R(4)=R(BT) 又因为,R(4)=R(4)=R(B)=R(B) 所以,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 I上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用 办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵,那么非零行的行数就是矩 阵的秩
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 ☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用 办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩
21837 例1.设A= 2-307 3-2580 求矩阵A的秩,并求的 0320 一个最高阶的非零子式。 21837 0320 解: 307-51-20-3-63-5 3-2580 0-2-420 0320丿4(01 032 07 10320 012-1 012 2分10000141-16500001 000016 00000 R(4)=3
1 2 2 4 3 4 1 4 2 4 3 4 3 2 4 4 3 2 3 3 2 14 16 2 1 8 3 7 1 0 3 2 0 2 3 0 7 5 0 3 6 3 5 ~ 3 2 5 8 0 0 2 4 2 0 1 0 3 2 0 0 1 2 1 7 1 0 3 2 0 1 0 3 2 0 0 1 2 1 7 0 1 2 1 7 ~ ~ 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 16 r r r r r r r r r r r r r r r r r − − − + + − − − − − − − − − − − − 解： 0 0 0 1 0 0 0 0 0 R( ) 3 = A 2 1 8 3 7 2 3 0 7 5 A 3 2 5 8 0 1 0 3 2 0 1. − − − 设A A ＝ ，求矩阵 的秩，并求 的 一个最高阶的非 例 零子式