在数学上,我们把满足上述三条性质的关 系称之为等价。 由前面的引例可以看出,同时也不难证明 对矩阵进行行的初等变换,可以把矩阵化为行 阶梯矩阵,进而可以化为行最简矩阵 对行最简矩阵再施以列的初等变换,行最 简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵,称它为 矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是:其左上 角是一单位矩阵,其余元素全是零。可以证明, 任何一个m×m阶矩阵A,都可以经过初等
在数学上，我们把满足上述三条性质的关 系称之为等价。 由前面的引例可以看出，同时也不难证明 对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行 阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。 对行最简矩阵再施以列的初等变换，行最 简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为 矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上 角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明， 任何一个m×n阶矩阵 A，都可以经过初等
变化化为标准形F。F E.0 此标准形由m、n、r三个数完全确定,其中 r就是行阶梯矩阵中非零行的行数,所有与A等 价的矩阵组成了一个集合,这个集合称为一个 等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的 矩阵。 31-3-7 120-24化为行阶梯阵 例把矩阵A=3-2830 2-3743 和行最简阵,并求它的标准形
r m n = E F 0 0 0 此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中 r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等 价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个 等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的 矩阵。 2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 3 2 8 3 0 2 3 7 4 . 3 1 − − − − = − − 把矩阵A 化为行阶梯阵 和行最简阵，并求它的 例 标准形。 变化化为标准形F
231-3-7 120-2-4 解:A 120-2-4-3210-1111 3-2830n-250-88912 2-374362(0-66710 4-61 0-2-4 120-2-4 01-1-1-1 01-1-1 00014 000 4 00014 00000 1020-2 10000 01-103 01000 0001400100 00000 00000
4 1 3 2 1 2 1 2 3 2 2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 ~ 3 2 8 3 0 0 8 8 9 12 2 3 7 4 3 0 6 6 7 10 r r r r r r r r − − − − − − − − − − = − − − − 解：A 3 2 4 2 2 4 3 8 6 ( 1) 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ~ ~ 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 r r r r r r r − − − − − − − − − − − − − − 1 0 2 0 2 1 0 0 0 0 0 1 1 0 3 0 1 0 0 0 ~ ~ 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − −
第二节矩阵的秩
第二节 矩阵的秩
在m×n阶矩阵A中,任取k行与k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉点处的k个元素,不 改变它们在A中所处的位置次序而得的阶行 列式,称为矩阵A的阶子式 mXn阶矩阵A中的阶子式共有C.C个。 设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 愿那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数称为 矩阵的秩。记作R(4)。同时规定,零矩阵的秩 等于0
在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列(k≤m， k ≤n)，位于这些行列交叉点处的k 2个元素，不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行 列式，称为矩阵A的k阶子式。 m×n阶矩阵A中的k阶子式共有 个。 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D， 且所有r＋1阶子式(如果存在的话)全等于0， 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为 矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩 等于0。 k n k Cm C