矩阵的初等变换 对前面涉及的矩阵的行变换进行定义 「定义21 矩阵的初等行(列变换主要指下列三种类型的变换 (1)交换矩阵的某两行(列)的位置 (2)矩阵的某行(列)数乘非零常数 (3)矩阵的某行(列)数乘非零常数加到另一行(列).(当数乘的常 数为1(或-1).等价于两行(列)相加(或减)) 注:对矩阵实施某初等行(列)变换后,两个矩阵一般不相等,书 写时不能用等号
矩阵的初等变换 对前面涉及的矩阵的行变换进行定义: 定义 2.1: 矩阵的初等行(列)变换主要指下列三种类型的变换: (1) 交换矩阵的某两行(列)的位置. (2) 矩阵的某行(列)数乘非零常数. (3) 矩阵的某行(列)数乘非零常数加到另一行(列).(当数乘的常 数为1(或−1), 等价于两行(列)相加(或减).) 注: 对矩阵实施某初等行(列)变换后, 两个矩阵一般不相等, 书 写时不能用等号. 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 初等变换的书写规范 (1)矩阵A交换第ij两行(列) A二B,或A一B (2)矩阵A的第许(列)数乘常数k≠0 B,或A B (3)矩阵的第行(列)数乘常数k(≠0)加到第j行(列 RI+()*Rp B,或A B +(k)*C 其中的“F和“C分别代表行(Row)和列( Column),下标“、“ 或“疒”实施变换的行(列)、j行(列)
矩阵的初等变换 初等变换的书写规范: (1) 矩阵A交换第i和j两行(列): A Rij −→ B, 或A −→Cij B (2) 矩阵A的第i行(列)数乘常数k 6= 0: A (k)∗Ri −−−−→ B, 或A −−−−→ (k)∗Ri B (3) 矩阵的第i行(列)数乘常数k(6= 0) 加到第j行(列): A Rj+(k)∗Ri −−−−−−−→ B, 或A −−−−−−−→ Cj+(k)∗Ci B 其中的“R”和“C”分别代表行(Row)和列(Column), 下标 “ij”、 “i” 或 “j” 实施变换的行(列)i、j行(列). 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 由前面的分析可知:任意线性方程组的求解过程等价于对相应增 广矩阵实施行变换,目的是将它变成类似“阶梯”形的矩阵 定义22 非零矩阵中包含了非零行,非零行中最左边的非零元素称为先导 元素.若一个矩阵满足下列三个性质 (1)每一个非零行在所有的零行之上 (2)某一行的先导元素位于前一行的先导元素的右侧 (3)某一行的先导元素所在列的下方全为零元素 则称该矩阵为阶梯形(或行阶梯形).进一步 (4)若任意非零行的先导元素为1 (5)每个先导元素1是其所在列的唯一非零元素 则称它为简化的阶梯形(或简化的行阶梯形)
矩阵的初等变换 由前面的分析可知: 任意线性方程组的求解过程等价于对相应增 广矩阵实施行变换, 目的是将它变成类似“阶梯”形的矩阵: 定义 2.2: 非零矩阵中包含了非零行, 非零行中最左边的非零元素称为先导 元素. 若一个矩阵满足下列三个性质: (1) 每一个非零行在所有的零行之上. (2) 某一行的先导元素位于前一行的先导元素的右侧. (3) 某一行的先导元素所在列的下方全为零元素. 则称该矩阵为阶梯形(或行阶梯形). 进一步, (4) 若任意非零行的先导元素为1 (5) 每个先导元素1是其所在列的唯一非零元素. 则称它为简化的阶梯形(或简化的行阶梯形). 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 例4:下列矩阵中哪些是阶梯形或简化阶梯形(其中*为任意数): 1000 01-3-2 0010 0004 0004 20 0 0001*00 0000010 00000 20 00000 00004
矩阵的初等变换 例 4: 下列矩阵中哪些是阶梯形或简化阶梯形(其中∗为任意数): 0 0 3 2 0 1 −3 −2 0 0 0 4 , 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 −2 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 −2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 4 ∗ ∗ ∗ , 0 1 ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 −2 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 −2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 ∗ ∗ 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换