古鲁金定理一平面图形绕与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转所得立体的体积 等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积 3旋转惯量 质点m到定轴u的距离为r,转动的角速度O为常数,则质点动能 lo 我们称Ⅰ=mr2为质点对u轴的转动惯量。 例求曲线x=x(),y=y()关于y轴及x轴的转动惯量 解dI P(1)为曲线密度 ()p(1)√x(n2+y(n)2 L-Sypds=y(p(V(2+yo2dt 静力矩计算中,用到「x/(x)dx型积分,数学上我们称为一阶矩:转动惯量计算中 用到∫x3f(x女型积分,数学上我们称之为二阶矩:一般地在数学上可定义n阶矩 引力和功 两个质点m1,m2,相距r,则其间万有引力为F=C 。如果有一均匀细棒, 长21,质量M,在其延长线上离中心距离为a(a>D)处有一质点A,质量为单位1,则棒 对它引力元 Max dF=g d x 力F(x)沿它作用方向运动dx,作功为dW=Fax,则从a到b作功W=「F(x)dt。 如果有三维物体V,体密度为p(x,y,z),则对其外单位质量质点引力 F=F2i+Fj+Fk为
162 古鲁金定理 一平面图形绕与其不相交的轴（可以是它的边界）旋转所得立体的体积 等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积。 3 旋转惯量 质点m 到定轴u 的距离为r ，转动的角速度w 为常数，则质点动能 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 E = mv = mr w = I uw 我们称 2 I mr u = 为质点对u 轴的转动惯量。 例 求曲线x = x(t) ， y = y(t) 关于 y 轴及 x 轴的转动惯量。 解 dI x ds y r 2 = r = r(t) 为曲线密度， dI y ds x r 2 = 。 ò ò = = ¢ + ¢ b a I x r ds x t r t x t y t dt l y 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ， ò ò = = ¢ + ¢ b a I y r ds y t r t x t y t dt l x 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 静力矩计算中，用到 ò b a xf (x)dx型积分，数学上我们称为一阶矩；转动惯量计算中， 用到 ò b a x f (x)dx 2 型积分，数学上我们称之为二阶矩；一般地在数学上可定义n 阶矩： ò b a n x f (x)dx 。 4 引力和功 两个质点m1，m2，相距r ，则其间万有引力为 2 1 2 r m m F = G 。如果有一均匀细棒， 长2l ，质量 M ，在其延长线上离中心距离为a (a > l) 处有一质点 A ，质量为单位1，则棒 对它引力元 - l 0 l a 2 ( ) 1 2 a x dF G l Mdx - × = ， ò- - = - = l l a l GM dx a x GM l F 2 2 2 ( ) 2 。 力 F( x) 沿它作用方向运动dx ，作功为 dW = Fdx ，则从a 到b 作功 ò = b a W F(x)dx 。 如果有三维物体 V ， 体密度为 r( x, y,z) ， 则对其外单位质量质点引力 F F i F j F k = x + y + z 为 [ ] òòò - + - + - - = V x x x y y z z k x y z x x dxdydz F 2 3 2 0 2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) r ( , , )( )
F,= p(x, y, =(y-yo)dxdydz x-x)+(y-y)2+(2- F kp(x, y, =(=-=o)dxdydz )2+(y-y0)2 我们有必要研究多元微积分学。 §7.3定积分在经济学中的应用 例1:已知生产某商品x件时的边际收入是r(x)=100 (元/件)。试求生产此 种商品1000件时总收入和平均收入以及生产1000件到2500件时增加的收入和平均收入。 解:R0。r(x女=0100=800元) R(1000= R000)=80(元/件) 1000 R(2500)-8000=0(00 x 45000(元) R(2500-R(000030(元/件) 2500-1000 例2:设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位:百台)的函 数C(x)=4+。总收入R(单位:万元)的边际收入是产量x的函数R(x)=9-x。 4 (1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加了多少? (2)已知固定成本C(0)=1万元,分别求出总成本,总收入,总利润与产量x的 函数关系式 解:(1)C(x)=[(4+-)dx=19(万元 R=(9-x)dx=24(万元) (2)C(x)=C(0)+C(ndr 1+(4+-)d=1+4x+-x 总成本函数 8 R(x)=09-=9x-2x2…总收入函数 5 L(x)=R(x)-C(x)=5 总利润函数。 又最大利润:L(x)=0,x=4,L"(4)<0,故x=4(百台)时利润最大,L(4)=9(万 元)。此时总成本C(4)=19(万元),总收入R(4)=28(万元)
163 [ ] òòò - + - + - - = V y x x y y z z k x y z y y dxdydz F 2 3 2 0 2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) r( , , )( ) ， [ ] òòò - + - + - - = V z x x y y z z k x y z z z dxdydz F 2 3 2 0 2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) r( , , )( ) 。 我们有必要研究多元微积分学。 §7.3 定积分在经济学中的应用 例 1：已知生产某商品x 件时的边际收入是 25 ( ) 100 x r x = - （元/件）。试求生产此 种商品 1000 件时总收入和平均收入以及生产 1000 件到 2500 件时增加的收入和平均收入。 解： ò ò = = - = 1000 0 1000 0 ) 80000 25 (1000) ( ) (100 dx x R r x dx （元） 80 1000 (1000) (1000) = = R R （元/件） ) 45000 25 (2500) (1000) (100 2500 1000 - = - = ò dx x R R （元） 30 2500 1000 (2500) (1000) = - R - R （元/件） 例 2： 设某产品的总成本C （单位：万元）的边际成本是产量x （单位：百台）的函 数 4 ( ) 4 x C¢ x = + 。总收入 R （单位：万元）的边际收入是产量 x 的函数 R¢( x) = 9 - x 。 （1） 求产量由 1 百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加了多少？ （2） 已知固定成本 C(0) = 1万元，分别求出总成本，总收入，总利润与产量 x 的 函数关系式。 解： （1） ) 19 4 ( ) (4 5 1 = + = ò dx x C x （万元） (9 ) 24 5 1 = - = ò R x dx （万元） （2） ò = + ¢ x C x C C t dt 0 ( ) (0) ( ) 2 0 8 1 ) 1 4 4 1 (4 dt x x x t = + + = + + ò … … 总成本函数。 2 0 2 1 R(x) (9 t)dt 9x x x = - = - ò … … 总收入函数。 1 8 5 ( ) ( ) ( ) 5 2 L x = R x - C x = x - x - … … 总利润函数。 又最大利润： L¢( x) = 0，x = 4 ，L¢¢(4) < 0，故 x = 4（百台）时利润最大，L(4) = 9 （万 元）。 此时总成本C(4) = 19 （万元）， 总收入 R(4) = 28 （万元）
例3:某地区的人口数y与时间t有关,且人口增长率与(N-y)成正比。若初始化 时刻t=0时的人口数y(0)=yo,求人口数y与时间t的函数关系 解:=k(N-y)通解为:y=N-Ce do y(0)=yo A C=(N-yo), y=N-(N-yo)e 当k>0时,limy=N 当k<0且y0>N时,limy=+∞,人口爆炸! §7.4无穷小量与无穷大量之比较 定义:设f(x),g(x)都是U0(x0)上无穷小量,且g(x)≠0 1)若1f(x=A,A≠∞,0,则称f(x),8(x)为同阶无穷小量,若A=1 -o g(x 称它们为等价无穷小量,记作∫(x)~g(x)(x→x0) 2)若fC)=0,则称/()是较g(x)的高阶无穷小量,记作f(x)=ag(x (x→x0) 3)若彐M,使得|∫(x)M|g(x)|,x∈U0(x0),则记作f(x)=O(g(x) (x→>x0) 由定义我们有:snx~x(x→0),1-cosx-x2(x→0), O(x)(x→>0) 类似的对无穷大量,我们也有 定义设∫(x),g(x)都是U0(x0)上无穷大量,且g(x)≠0。 1)若mn=A,A≠∞,0,则称f(x),g(x)为同阶无穷大量,若A 称它们为等价无穷大量,记作∫(x)~g(x)(x→>x0)
164 例 3： 某地区的人口数 y 与时间t 有关，且人口增长率与(N - y) 成正比。若初始化 时刻t = 0 时的人口数 0 y(0) = y ，求人口数 y 与时间t 的函数关系。 解： k(N y) dt dy = - 通解为： kt y N Ce - = - 0 y(0) = y 得 ( ) 0 C = N - y ， kt y N N y e - = - ( - ) 0 当k > 0 时， y N t = ®¥ lim ; 当k < 0且 y0 > N 时， = +¥ ®¥ y t lim ，人口爆炸！ §7.4 无穷小量与无穷大量之比较 定义： 设 f (x) ， g (x) 都是 ( ) 0 0 U x 上无穷小量，且 g( x) ¹ 0 。 1） 若 A g x f x x x = ® ( ) ( ) lim 0 ， A ¹ ¥ ，0 ，则称 f (x) ， g (x) 为同阶无穷小量， 若 A = 1， 称它们为等价无穷小量，记作 f (x) ~ g (x) （ 0 x ® x ）。 2） 若 0 ( ) ( ) lim 0 = ® g x f x x x ，则称 f (x) 是较 g (x) 的高阶无穷小量， 记作 f (x) = o(g (x)) （ 0 x ® x ）。 3） 若 $ M ，使得 | f ( x) |£ M | g( x) | ， ( ) 0 0 x ÎU x ，则记作 f (x) = O(g( x)) （ 0 x ® x ）。 由定义我们有：sin x ~ x （ x ® 0）， 1- cos x ~ 2 2 1 x （x ® 0）， x x 1 sin sin ~ O(x) （ x ® 0）。 类似的对无穷大量， 我们也有 定义 设 f (x) ， g (x) 都是 ( ) 0 0 U x 上无穷大量，且 g( x) ¹ 0 。 1） 若 A g x f x x x = ® ( ) ( ) lim 0 ， A ¹ ¥ ，0 ，则称 f (x) ， g (x) 为同阶无穷大量， 若 A = 1， 称它们为等价无穷大量，记作 f (x) ~ g (x) （ 0 x ® x ）