I=丌|2aa+r (3a2-z2 n a 63-5)。 =a(t-sin t) 例7求旋轮线 y=al-cosr) (0≤t≤2r)之弧长。 #f x'(t)=a(1-cost), y'(t)=asin t -t dt 1-cost)dt 例B求星形线(铜钱线)1x=a0的弧长 y=asin t 解考虑1:0→,x(t)=-3 a cos t sin t,y(t)=3asn2 t cOS t。 19a2cos'tsin21+9a2sin+ t cost dt 12a 2 costsin tdt =12a 2 sin td sin t 例9求椭圆 0≤t≤2x周长 #f x'( =-asin t, y(o=boost S=4
157 ò ò = + - a a a V azdz a z dz 3 2 2 0 p 2 p (3 ) (6 3 5) 3 3 = - p a 。 例 7 求旋轮线 î í ì = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 £ t £ 2p ) 之弧长。 解 x¢(t) = a(1 - cost) ， y¢(t) = a sin t ， ò = - + 2p 0 2 2 2 2 S a (1 cost) a sin t dt ò = - 2p 0 a 2(1 cost) dt dt a t a 8 2 2 sin 2 0 = = ò p 。 例8 求星形线（铜钱线） ïî ï í ì = = y a t x a t 3 3 sin cos 的弧长。 y O a x 解 考虑 2 :0 p t ® ， x (t) 3a cos t sin t 2 ¢ = - ， y (t) 3asin t cost 2 ¢ = 。 ò = 2 + 0 2 4 2 2 4 2 4 9 cos sin 9 sin cos p S a t t a t t dt ò = 2 0 12 cos sin p a t tdt ò = 2 0 12 sin sin p a t d t 6asin t 2 6a 0 2 = = p 。 例9 求椭圆 î í ì = = y b t x a t sin cos 0 £ t £ 2p 周长。 解 x¢(t) = -a sin t ， y¢(t) = b cost ， ò = 2 + 0 2 2 2 2 4 sin cos p S a t b t dt
4a vi-2 cost dt 其中g=1a2-b2是椭圆的离心率,它是“椭圆积分”,不能用初等方法积出来。考虑 f(0)="-2cos2dh,其反函数称为“椭圆函数”,在数论中具有基本的重要性 椭圆的面积:x= a cos t,y= bsin t 例0求旋轮线{x=(迎 (0≤1≤2丌)绕x轴旋转所得旋轮体的侧表面积 y=a(1-cost) 解d=2asin2dt, P=2ra(1-c0s)·2 4ra2(I-cost)sin =dt 87a dt 16 ∫(1-cos2n) d cosu 16ra (cos u-) u) 例11求旋转椭圆体的表面积 解设椭圆体是由二+ ab31(a>b)绕x轴旋转而得,这时 b2 b b2,b1 及 y√1+y2=√y2+(y)2 158
158 ò - = - 2 0 2 2 2 2 4 1 cos p t dt a a b a ò = 2 - 0 2 2 4 1 cos p a e t dt 。 其中 1 2 2 a b a e = - 是椭圆的离心率，它是“椭圆积分”，不能用初等方法积出来。考虑 ò = - q q e 0 2 2 f ( ) 1 cos t dt ，其反函数称为“椭圆函数”，在数论中具有基本的重要性。 椭圆的面积： x = acost ， y = b sin t ， t t dt ab ab S xdy ydx p p p = - = + = ò ò 2 0 2 2 2 0 (cos sin ) 2 2 1 。 例10 求旋轮线 î í ì = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 £ t £ 2p ) 绕 x 轴旋转所得旋轮体的侧表面积 解 dt t ds a 2 = 2 sin ， ò = - × p p 2 0 2 2 (1 cos ) 2 sin dt t P a t a ò = - p p 2 0 2 2 4 (1 cos )sin dt t a t ò = p p 2 0 2 3 2 8 sin dt t a ò = p p 0 2 3 16 a sin udu ò = - - p p 0 2 2 16 a (1 cos u)d cosu 2 0 3 3 2 1 3 64 16pa (cosu cos u) pa p = - - = 。 例 11 求旋转椭圆体的表面积。 解 设椭圆体是由 1 2 2 2 2 + = b y a x (a > b) 绕 x 轴旋转而得，这时 2 2 2 2 2 x a b y = b - ， x a b yy 2 2 ¢ = - 及 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x a b x a b y + y¢ = y + yy ¢ = b - +
b 其中=Na2-b2 为椭圆的离心率 P=2r2°√a2-82x2dt 4r va2-e2x dx 4 arcsin 2rb(b+-arcsin 8) E 如果此椭圆绕y轴旋转,则 P x x2 dx b 2 b b 2-b2 n b a2-b2 2丌aa In a2-b §7.2定积分的物理应用 1.曲率 设计铁路转弯时,里外两轨要有一定高度差,这由设计车速和曲率来决定,所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作 令a表示曲线斜率正切对应的角度,S表弧长,则曲率定义为k=|hm△a/ X=X 如果曲线由参数方程 由lg () a =arcing y=y() x() 159
159 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a b x a a b a a b = - e - = - 。 其中 a a b 2 2 - e = 为椭圆的离心率。 ò- = - a a a x dx a b P 2 2 2 2p e ò = - a a x dx a b 0 2 2 2 4p e a a a x x a x a b 0 arcsin ) 2 2 1 4 ( 2 2 2 2 e e = p - e + 2 ( arcsin e ) e p a = b b + 。 如果此椭圆绕 y 轴旋转，则 ò- = + ¢ b b P x x dx 2 1 2p 1 ò- - = + b b x dx a a b b b a 2 2 2 2 2 2p b x b a b x b a b x b a b x b a b a b b b a 0 ln 1 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 ú ú û ù + - + - + ê ê ë é + - - - = p ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - = + b a b a a b b a a 2 2 2 2 2 2p ln 。 §7.2 定积分的物理应用 1．曲率 设计铁路转弯时，里外两轨要有一定高度差，这由设计车速和曲率来决定，所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作。 令a 表示曲线斜率正切对应的角度， s 表弧长，则曲率定义为 s k s D D = D ® a 0 lim 。 如果曲线由参数方程 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t 给出， dt ds dt d k a = ，由 ( ) ( ) x t y t tg ¢ ¢ a = ， ( ) ( ) x t y t arctg ¢ ¢ a =
及 dt k 山凼山 如果曲线由y=(x)给出,则k=-① 如果曲线由极坐标厂=r(0)给出,则k=2+2r2 率的倒数,R=k,称为曲线在该点的曲率半径,过该点与曲线有相同一阶,二阶 导数的圆周C称为曲率圆。 2质心(重心) 平面简单曲线 y=y((asx≤B),如果其上定义一个线密度p(),则曲线r 的质量公式M=(yx(03+y(odh 曲线r对y轴和x轴的静力矩是 ()x()yx()2+y()2dt ∫po)y(x(+y(n3t F的质心 xMM(n)x(x()2+y(0)2d, y=M =MP(y(Vx(+yode 特别地,当曲线质量是均匀分布的,不妨设p(1)=1,则
160 及 2 2 x (t) y (t) dt ds = ¢ + ¢ ，得 2 3 ( ) 1 ' 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y dt ds dt d k ¢ + ¢ ¢ ¢¢ - ¢¢ ¢ = ¢ + ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ ¢ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ¢ ¢ = = a 。 如果曲线由 y = f (x)给出，则 2 3 2 (1 y ) y k + ¢ ¢¢ = 。 如果曲线由极坐标r = r(q) 给出，则 2 3 2 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr k + ¢ + ¢ - ¢¢ = 。 曲率的倒数， k R 1 = ，称为曲线在该点的曲率半径，过该点与曲线有相同一阶，二阶 导数的圆周C 称为曲率圆。 R M 2 质心（重心） 平面简单曲线 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t (a £ x £ b ) ，如果其上定义一个线密度 r(t) ，则曲线G 的质量公式 ò = ¢ + ¢ b a M r t x t y t dt 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 曲线G 对 y 轴和 x 轴的静力矩是 ò = ¢ + ¢ b a M r t x t x t y t dt y 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ， ò = ¢ + ¢ b a M r t y t x t y t dt x 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 G 的质心 ò = = ¢ + ¢ b a r t x t x t y t dt M M M x y 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ， ò = = ¢ + ¢ b a r t y t x t y t dt M M M y x 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 。 特别地，当曲线质量是均匀分布的，不妨设 r (t) = 1，则
xd,y=打 由最后一式可得 2t yI=2T L yds 古鲁金定理平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周,生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长 =f(x) 例:求x2+(y-a)2=R2(a>R)绕x轴转动所成圆环侧面积 S=2ma·2nR=4丌2aR 现考虑平面图形的质心 质量微元 d=ff(x-g(xld 关于y轴的静力矩微元 dM=xf(x)-g(x)]d 关于x轴的静力矩微元 dM, =lf(x)+(x)I[f(x)-g(x)]du 2(x)-g"(x)dr 所以平面图形质心的坐标为: xf(x)-g(x)ldx ff(x)-g(xld x[∫2(x)-82(x)k 1(x)-g(x) 由上式,我们得2兀y(x)-8(x)=xJU(x)-g2(x)d,即2xyS=。 其中S是平面图形的面积,V是该平面图形绕x轴旋转所得立体的体积
161 ò = l xds l x 0 1 ， ò = l yds l y 0 1 。 由最后一式可得 ò = l yl yds 0 2p 2p 。 古鲁金定理 平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周，生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。 y y=f(x) y=g(x) O x x+dx x 例：求 ( ) ( ) 2 2 2 x + y - a = R a > R 绕 x 轴转动所成圆环侧面积。 S a R aR 2 = 2p × 2p = 4p 现考虑平面图形的质心。 质量微元 dM = [ f ( x) - g( x)]dx， 关于 y 轴的静力矩微元 dM x f x g x dx y = [ ( ) - ( )] ， 关于 x 轴的静力矩微元 dM f x g x f x g x dx x [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 2 1 = + - [ f (x) g (x)]dx 2 2 2 1 = - 。 所以平面图形质心的坐标为： ò ò - - = = b a b y a f x g x dx x f x g x dx M M x [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ； ò ò - - = = b a b a x f x g x dx x f x g x dx M M y [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 1 2 2 由上式，我们得 ò ò - = - b a b a 2 y [ f (x) g(x)]dx [ f (x) g (x)]dx 2 2 p p ，即2p y × S =V 。 其中 S 是平面图形的面积，V 是该平面图形绕 x 轴旋转所得立体的体积