新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 一阶微分方程的解的存在定理 §3 解对初值的连续性和可微性

33解对初值的连续性和可微性 因此，对x,∈[M,b]及x,≤x≤b,积分上式，只有x≥x 才仅有 (es x V(x)e-2|s≤0，→V()e2u-V(x)e2≤0， V(x)≤V(x)e2x-,x≤x≤b 对于M≤x≤xw令-x=t,记-x0=to,则(2.1)变为 =-f-t,y) (*) dx 由下0g和密是方程杰-fx,)的解，所以易=-及 y=(-)是(*)的解.因为 左端 d9-0-do-f(x,p(x)=-f（(-4,0-0)=右端 dt dx 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 −   2 ( ) 0 Lx x x dV x e dx dx −  0 2 ( ) 0, Lx x V x e x  −  − − 0 2 2 0 ( ) ( ) 0, Lx Lx V x e V x e §3.3 解对初值的连续性和可微性 x a b 0 [ , ] x x b 0    0 因此，对 及 ，积分上式，只有 x x 才仅有 −    0 2( ) 0 0 ( ) ( ) , x x V x V x e x x b   0 axx − = x t − = 0 0 对于 ，令 ，记 x t ，则（2.1）变为 = − −  ( , ) ( ) dy f t y dx ( )t ( )t = ( , ) dy f x y dx y t = − ( ) y t = − ( ) () 由于 和 都是方程 的解，所以易知 及 是 的解. 因为 ( ) ( )     − = = − = − = − − − = ( ) ( ) , ( ) , ( ) d t d x f x x f t t dt dx 左端 右端

33解对初值的连续性和可微性 对t。≤t≤-u,积分上式 a'(t)=2[p(-t)-(-t)]-p'(-t)+'(-t)川 =-2[p(-t)+(-tf(-t,p(-t)-f(-t,(-t)1 ≤2L[p(-t)+(-t)][-p(-t)+(-t)]≤2La(t) a'()e2u-2Le2a(0)s0,=da(e dt 20 令a(t)=[p(-t)-(-t),则 .a≤x≤xo →-x,≤-x≤-0 ∫da()e“≤0，a(t)≤at,)e-,in≤t≤-a→t,≤t≤-m） a(:-x=V(x)a(4o)=V(xo),a(-x)≤a(t,)e2(-+) .V(x)≤V(x)e2(,a≤x≤.对x,x∈[a,b],有 V(x)≤V(x)e2-l p(x)-(x)≤p(x)-(xe4- 结束 帮助 上一面返回下一页2 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 = − − −   2 令 a t t t ( ) [ ( ) ( )] ,则 a t t t t t    ( ) 2[ ( ) ( )][ ( ) ( )] = − − − − − + −     = − − + − − − − − − 2[ ( ) ( )][ , ( ) , ( ) ]     t t f t t f t t ( ) ( )  − + − − − + − 2 [ ( ) ( )][ ( ) ( )] L t t t t      2 ( ) La t − −  −  2 2 a t e Le a t ( ) 2 ( ) 0 Lt Lt ， −   ( ( ) ) 0 Lt d a t e dt 0 0 0 ) axx x x a t t a    −  −  −    − §3.3 解对初值的连续性和可微性 对 t t a 0   − ，积分上式 −   0 ( ) 0， t Lt t da t e −    − 0 ( ) 0 0 a t a t e t t a ( ) ( ) L t t ， = − = = 0 0 a t V x a t V x ( ) ( ) ( ) ( ) t x ， ， − + −  0 2 ( ) 0 ( ) ( ) L x x a x a t e −     0 2 ( ) 0 0 V x V x e a x x ( ) ( ) L x x ， ，  对 x x a b , [ , ] 0  ，有 −  0 2 0 ( ) ( ) L x x V x V x e     −  −  − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L x x x x x x e

重3.3解对初值的连续性和可微性 我们说f(x,y)在点(x,y)连续是指当(x,y)在点(xo,y)的变 化很小时，即在(x,y)的充分小邻域时，相应的函数值f(x,y) 的变化很小.即f(x,y)与f(x,y)的差别很小. 用数学语言来叙述的话，那就是V￡>0,3δ>0 当(x-x)2+(-)2<6有f(x,y)-f(x-y)<6 对于（2.1)的解y=p(x,xo,Jyo,)如果初值的变化很 小时，相应的解的变化也很小，那么解关于xo,'o就连续 结束 帮助

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 与 0 0 ( , ) x y ( , ) x y 0 0 ( , ) x y f x y ( , ) f x y ( , ) 0 0 我们说 在点 连续是指当 在点 ( , ) x y 的变 化很小时，即在 的充分小邻域时，相应的函数值 的变化很小. 即 的差别很小. 2 2 2 0 0 ( ) ( ) x x y y − + −         0, 0 0 0 f x y f x y ( , ) ( ) − −   用数学语言来叙述的话，那就是 当 , 有 = 0 0 y x x y ( , , ) 0 0 x y, 对于（2.1）的解 ，如果初值的变化很 小时，相应的解的变化也很小，那么解关于 就连续. §3.3 解对初值的连续性和可微性