沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.2 积分法（1/2）换元分法

换元积分法二、第一类换元法定理1设f(u)具有原函数，u=β(x)可导则有换元公式J f[p(x)]o'(x)dx = [f f(u)dulu=8(x)第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将[ g(x)dx 化为[ f[(x)]p(x)dx.elolol0lx练习题直接积分法第一类换元积分法小结与作业上页下页目录返回结束

设 f (u)具有原函数，  f [( x)]( x)dx    ( ) [ ( ) ] u x f u du  第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) .  f  x  x dx u  ( x)可导， 则有换元公式 定理1 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法例1求[sin2xdx.解（一）「sin2xdxsin 2xd(2x)21=cos2x +C;2解（二）J sin 2xdx = 2J sin xcos xdx= 2 sin xd(sin x)= (sin x) + C;解（三）（sin2xdx =2Jsinxcosxdx= -2[ cos xd(cos x)= -(cos x) + Celol00lx直接积分法练习题第一类换元积分法小结与作业目录上页下页返回结束

例1 求 sin2 .  xdx 解（一） sin2xdx   sin2 (2 ) 2 1 xd x cos2 ; 2 1   x  C 解（二） sin2xdx   2 sin xcos xdx   2 sin xd(sin x) sin  ; 2  x  C 解（三） sin2xdx   2 sin xcos xdx   2 cos xd(cos x) cos  . 2   x  C 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法1求例2 dx.3+2x1解dx.d(3 + 2x)3+ 2x2.3+2xdu =Inu+C ==In(3+ 2x)+C2u22一般地[ f(ax + b)dx :f(u)dulu=ax+b?elol00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页结束目录返回

例2 求 . 3 2 1 dx x   解 dx x  3  2 1 1 1 d(3 2 ) 2 3 2 x x      du u   1 2 1  lnu  C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1   x  C  f (ax  b)dx   uaxb f u du a [ ( ) ] 一般地 1 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法1例3求dx.x(1 + 2ln x)11解dxd(Inx)x(1 + 2ln x)1+2lnx1d(1 + 2ln x)2J1+2lnxu=1+2lnxdu=ln|ul+C =n|1+21nx+C.el0l00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页目录返回结束

例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x   解 dx x x  (1 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x    (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x     u  1  2ln x   du u 1 2 1 1 ln 2  u C 1 ln 1 2ln . 2   x  C 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法x求例4JrCxx+1解dx =dx323(1+x)1x-11Jd(1xx)2(1+x)11+C.1+ x2(1 + x)elol00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页返回结束目录

例4 求 . (1 ) 3dx x x   解 dx x x   3 (1 ) dx x x      3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x       . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x       二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题