(x+ma=门B(2x+p)-Bp+d Bx+c n x+ pr+ B 2(1-n)(x2+px+q)”1 Bp-2c 2JI(x+212+(q-") 2021/2/20
2021/2/20 6 + + + − + = + + + dx x px q B x p B p C dx x px q B x C n n ( ) (2 ) ( ) (4) 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 1 2(1 ) − − + + = n n x px q B + + − − − p p n x q Bp C dx 2 [( ) ( )] 2 4 2 2 2
如何将真分式分解为最筒分式之和? 定理1:任意一个实系数多项式 om(x=b 0勿 +bxm+…+bn1x+b 都可以分解为一个常数与形如 (x-a)与(x2+px+q)(p2-4q<0) 诸因式之积: Qn(x)=b(x-a1)(x-a2)2…(x-a,) (x2+p1x+q1)(x2+n2x+q2) 2021/2/20 (x tp x+ q
2021/2/20 7 : ( ) ( ) ( 4 0) ( ) 2 2 1 1 0 1 诸因式之积 与 都可以分解为一个常数与形如 任意一个实系数多项式 − + + − = + + + − + − x a x px q p q Q x b x b x b x b k l m m m m m 如何将真分式分解为最简分式之和？ 定理1： r s l r r l l k s k k m x p x q x p x q x p x q Q x b x a x a x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 + + + + + + = − − −
定理2:设是一个真分式则它可以 唯一地分解为最简分式和,分解规则 如下: (1)一次单因式对应一项 (x-a) (2)一次k重因式对应项 2 k k X一 c)2 X一 2021/2/20 8
2021/2/20 8 : , , ( ) ( ) 如 下 唯一地分解为最简分式之 和 分解规则 设 是一个真分式则它可以 Q x P x m 定理 n 2： ( ) (1) x a A − 一次单因式对应一项 k k x a A x a A x a A k k ( ) ( ) ( ) (2) 2 1 2 − + + − + − 一 次 重因式对应 项
(3)二次单因式对应一项 Bx +c x t px t q (4)二次k重因式对应项 Bx+Crt B x+c (x2+px+q)(x2+px+/× 2 2 B 十∴十 k+C k (x+ px+q 2021/2/20
2021/2/20 9 x px q B x C + + + 2 (3) 二次单因式对应一项 k k k x px q B x C x px q B x C x px q B x C k k ( ) ( ) ( ) (4) 2 2 2 2 2 2 1 1 + + + + + + + + + + + + + 二 次 重因式对应 项
x-5 「例山将 2 分解为最简分式的和 x-3x2+4 解]()将分母分解因式 x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2 (2)将真分式分解 x-5 B x3-3x2+4x+1x-2(x-2)2 (3)用比较系数法确定常数,B,C x-5=4(x-2)2+B(x+1)x-2)+C(x+1) 2021/2/20 =(4+B)x2+(-4A-B+C)x+(4A-2B+C
2021/2/20 10 例 将 分解为最简分式的和 3 4 5 [ 1] 3 2 − + − x x x (1)将分母分解因式 3 2 2 x − 3x + 4 = (x +1)(x − 2) (2)将真分式分解 3 2 2 3 4 1 2 ( 2) 5 − + − + + = − + − x C x B x A x x x [解] (3)用比较系数法确定常数A, B,C ( ) ( 4 ) (4 2 ) 5 ( 2) ( 1)( 2) ( 1) 2 2 A B x A B C x A B C x A x B x x C x = + + − − + + − + − = − + + − + +