案例如何求曲边梯形的面积？将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线y= f(x) (f(x)≥O),直线x=a, x =b (a<b)和 =O(即X轴)所围成的平面图形αA'B'b称为曲边梯形y=f(x)B'Ax=b面积A=?xiabxaay=0
案 例 如何求曲边梯形的面积? 将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), x = b (a b) 称为曲边梯形. 直线 x = a, 和 y = 0 (即 x 轴)所围成的平面图形 aABb y o x a = x x = b y = 0 y = f (x) A B a b 面积 A = ?
我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积对立曲直统一按下述程序计算曲边梯形的面积：(1)分割一一分曲边梯形为个小曲边梯形在区间[a,bl上任意选取分点a=<X<<…<xn-1<x,=b,11[o, x], [x,x]分成n个y=f(x)B小区间A.,[xn-, x].每个小区间的长度为Ax, = x, - xi-1i=1, 2, ", n. b其中最长的记作xAx = max(△x, )1<i<n
y o x 直 曲 对立 统一 按下述程序计算曲边梯形的面积: y = f (x) A B a b 在区间 [a,b] 上任意选取分点 , 0 1 2 1 a x x x x x b = n− n = 1 x 2 x 3 x i x i−1 x n−1 x [ , ], 0 1 x x [ , ], 1 2 x x . , [ , ]. n 1 n x x − 每个小区间的长度为 , i = i − i−1 x x x i = 1, 2, , n. max . 1 i i n x = x 其中最长的记作 x 0 x = n x = 分成 个 小区间 n 我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积. (1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形
(1)分割一一分曲边梯形为个小曲边梯形过每个分点x,i=1,2,"n)作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形yy=f(x)BA用A表示所求ANA曲边梯形的面积AAAA1A△A,表示第i个小oaxX-1x, xn-1bx曲边梯形面积，则有：xx3nA;A= △A, + △A,+... + △A, =i=1
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = 过每个分点 ( ) 作 轴的垂线,把曲边梯形 分成 个窄曲边梯形. i x i =1, 2, , n x n (1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形 用 表示所求 曲边梯形的面积. A 表示第 个小 曲边梯形面积, 则有: Ai i Δ Δ Δ Δ . 1 1 2 = = + ++ = n i A A A An Ai A1 A2 A3 Ai An
(2)近似代替一一用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积在每一个小区间[x;-1,x,]上任选一点三,(i=1,2,...，n),用与小曲边梯形同底,以f(5)为高的小矩形的面积f(S)△x,近似代替小曲边梯形的面积,郎△A,~f()Axy=f(x)△A, ~ f(5)△xB(i=1,2,..., n)A~f(3)AxXOO45.52SiA,~f(En)Ax
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = (2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 (i =1,2,，n) ΔAi ( ) i f i Δx 在每一个小区间 上任选一点 ( ),用与 小曲边梯形同底,以 为高的小矩形的面积 近似代 替小曲边梯形的面积,即 [ , ] i 1 i x x − i i =1,2,，n ( ) i f ( ) i f i Δx 1 A1 1 1 f ()x 2 i A2 2 2 f ( )x Ai i i f ( )x n An n n f ( )x
(3)求和一一求n个小矩形面积之和1n个小矩形构成的阶梯形的面积是f(S)△x,这是原曲边i=1梯形面积的一个近似值.即AA~f(S)AxA=ZMA,y=f(a)i=BZf(5)Ax,M~f(s)AxAXN004[E.32SA,-f(En)Ax
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = 1 A1 1 1 f ()x 2 i A2 2 2 f ( )x Ai i i f ( )x n An n n f ( )x (3)求和——求 n 个小矩形面积之和 个小矩形构成的阶梯形的面积是 ,这是原曲边 梯形面积的一个近似值.即 n = n i i i f x 1 () = = n i A Ai 1 ( ) . 1 = n i i i f x