一、切比雪夫不等式第5章大数定律及中心极限定理6例2设X～N(,α），用切比雪夫不等式估计概率P(X-μ≥3）。解因为8=3α，由切比雪夫不等式得P(X-E(X)≥e) ≤D(M)8D(X)P(X-μ≥3)<29(30)
第5章 大数定律及中心极限定理 6 例2 2 设X N~ ( , ) ，用切比雪夫不等式估计概率P X( 3 ) − 。 因为 =3 ，由切比雪夫不等式得 ( ) ( ) 2 ( ) 1 3 = 3 9 D X P X − P X E X ( − ( ) ) ( ) 2 D X 一、切比雪夫不等式 解
一、切比雪夫不等式第5章大数定律及中心极限定理例3设随机变量X的方差D（X）=0，求证，X服从参数为C的退化分布。证明利用切比雪夫不等式得，对任意的>0，有D(X)0≤ P(IX-E(X)≥)2由的任意性知P(X=E(X)=1
第5章 大数定律及中心极限定理 7 例3 证明 利用切比雪夫不等式得，对任意的 0 ，有 ( ( ) ) 2 ( ) 0 =0 D X P X E X − P X E X ( = =1 ( )) 一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 的方差 D X( ) = 0 ，求证， X 服从参数为 c 的退化分布。 由 的任意性知
>>>二、依概率收敛8第5章大数定律及中心极限定理定义1设X1，X2，是随机变量序列，如果存在一个常数℃，使得对任意一个ε>0lim P(IX, -c|<)=1,总有>那么称XX…依概率收敛于c,记作X，P>c当n充分大时/X,E（c6,C+)几乎总是发生lim P(X, -c| ≥)= 0.或等价地
第5章 大数定律及中心极限定理 8 个常数 c , 使得对任意一个 0 , lim 1, ( n ) n P X c → − = 或等价地 lim 0. ( n ) n P X c → − = P 那么称 X X 1 2 , , 依概率收敛于 c , 记作 X c n ⎯⎯→ 定义1 设 X X 1 2 , , 是随机变量序列, 如果存在一 当 n 充分大时 X c c n − + ( , ) 几乎总是发生 二、依概率收敛 总有
二、依概率收敛9第5章大数定律及中心极限定理依概率收敛性具有下列性质：定理2>c ,Y,P>b,且函数g(x,y)在如果X，(a,b)处连续g(X,,Y,)→g(a,b)例如X,P>1,Y,P>2,则 X,+Y,P>3
第5章 大数定律及中心极限定理 9 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b → 依概率收敛性具有下列性质： (a b, ) 处连续 如果 ， ，且函数 在 P X c n ⎯⎯→ P Y b n ⎯⎯→ g x y ( , ) 例如 X n ⎯⎯→P 1 ， 2 ，则 P Y n ⎯⎯→ 3 P X Y n n + ⎯⎯→ 定理2 二、依概率收敛
三、大数定律10第5章大数定律及中心极限定理定理3切比雪夫大数定律设随机变量序列X,X,，,X，.两两不相关，若E（X）<0，D(X）<0，i=1,2,…。则对任意>0,有P(x-E(x)≤e)→1ZX-ZE(X)
第5章 大数定律及中心极限定理 10 定理3 切比雪夫大数定律 三、大数定律 1 1 1 1 ( ) 1 n n i i i i P X E X n n = = − → 。 设随机变量序列X X X E X D X 1 2 , , , , n i i 两两不相关，若 ( ) ， ( ) ， i = 1, 2, 0 。则对任意 ，有 p 1 1 1 1 ( ) n n i i i i X E X n n = = ⎯⎯→